中学数学研究-陕130178例说解题教学中的立意

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1、资料编号14611不等式线性规划杨林军发表在陕130178上属于解题、策略、多解题为《例说解题教学中的立意》杨林军（北京市大兴区教师进修学校)解题教学是指以解题为载体达成理解和掌握“双基”、梳理通法、学会思维、提升能力等特定教学目标的一种教学活动，它在教师的日常教学活动中占有很大的比重.一般来说，解题教学包括立意、选题、讲题、拓展、反思等几个环节，其中，解题教学的“立意”是指教师根据教学任务以及学生的学习水平，在选题之前预设的、通过解题教学所要达成的教学目标，它既是解题教学的出发点，也是解题教学的归宿，因此，立意是解题教学最核心的环节.那么，在解题教学中应

2、如何正确立意？不同的立意会对解题教学的效果产生哪些影响呢？下面笔者通过一个解题教学的案例谈谈对上述问题的看法，希望能引起教师对解题教学更深人地讨论.1一个案例立意1:高三第一轮复习阶段，复习完简单线性规划、不等式等基本知识后，笔者通过作业发现，学生对简单线性规划问题的求解，技能层面的掌握是比较到位的，但在遇到给定直边区域（开区域，或闭区域），用二元一次不等式组加以表示，以及当目标函数由形如“”的形式变为形如“”的形式时，有些学生会出现一些思维上的障碍.这表明，学生对求解简单线性规划问题方法的本质没有真正理解.为此，想通过解题教学达成如下两个目标：第一，能将

3、给定平面区域用二元线性不等式组加以表示，在此过程中进一步体会数与形之间的内在联系；第二，通过对求解简单线性规划方法的再认知，领悟其本质.在明确了上述目标后，笔者将2008年高考数学上海卷文科第11题进行了改编，并以此为例形成了如下的教学设计：分析1:如何将三角形区域用不等式组加以表示？这是学过的已知二元一次不等式组画区域问题的逆问题.如何寻找思路？由于此问题的情境与线性规划问题求解的情境相同，所以，可以类比线性规划问题中求解线性目标函数最值的方法，得出如下解法：小结：求解二元函数最值常用的方法：(1)均值不等式法；(2)数形结合法；(3)向量法.教学反思：

4、按照上述设计教学后发现，课前立意中的第一个目标较好地达成了，但第二个目标达成度不高，特别是解题时给出了三种解法，虽然有助于培养学生思维的灵活性，但由于缺乏对三种解法内在联系的进一步挖掘，学生听完后大多较为茫然，“以后遇到二元最值问题时哪一种方法更有效呢？”特别是解法3,用的是构造的方法，学生很难自己想到，所以，教学效果大打折扣.经过反思，我们认识到，由于第一轮复习的目标是“夯实基础、梳理通法、学会思考”，所以，在第一轮复习中就将此题的三种方法都讲给学生是不合时宜的，最主要的是弱化了学生对线性规划求解方法本质的理解.同时，发现学生求解时的主要障碍是在审题以及

5、思路的发现上，因此，对以前的解题教学立意做了修改，并形成设计2.立意2:第一，在认识简单线性规划问题求解本质的基础上，归纳出二元最值问题求解的通性通法；第二，在审题与思路探索的过程中，体会数学思维的特点，养成良好的解题习惯.第2步，思路分析.此题要解决的是什么问题，是哪一类问题？以前求解过与此题结构相似的问题吗？线性规划问题的求解步骤是什么？你能类比线性规划问题的解法尝试解决这个新问题吗？至此，通过探究，得到了约束条件为不等式时一类二元最值问题的求解通法.简单的说就是转化，既可以考虑从约束条件(一般是等式）转化，也可以考虑从目标函数出发（约束条件是等式或不

6、等式均可），通过引入参数，将其转化为一元函数，再根据参数的几何意义，利用数形结合加以求解.第6步，拓展延伸.从以上解题思路的获得过程来看，简单线性规划问题的求解方法，实际上给出了一类二元最值问题的通性通法，更重要的是此方法中包含了转化的思想.那么，能否类比以上思路求解更一般的二元函数最值问题？让我们对以前做过的相关问题加以梳理，看看是否有共性的方法：已知：满足①求的最值；②求的最值；③求的最值；用你总结的共性的方法尝试求解下列问题：④求的最值；⑤求f的最值；⑥求的最值；⑦求的最值；⑧若，求a的最大值；⑨若.，求a的最大值.课堂小结：(1)一类二元函数最值问

7、题的求解策略（从梳理通法角度进行小结）：这里的“一类”是指可转化为与基本初等函数、圆锥曲线等相关的二元函数的最值问题；这类问题的求解策略就是转化；如何转化？通过等式.没有等式如何转化？引入参数，构造等式进行转化.(2)学会解题，学会思考（从学会思考，养成良好解题习惯的角度进行小结）：如何审题：审题的过程就是三种语言转化的过程，是运用概念思考判断的过程.如何寻找思路:模式识别，（类比迁移）化归转化，差异分析，层次解决.运算求解：确定运算目标，选择运算路径，准确、简捷、快速.检验作答：对特殊情况的检验，对等号成立条件的确认，结果是否符合实际意义等.反思归纳：从

8、知识内容、思想方法、拓展延伸等角度进行.教学反思：由于此设计立意准