中学数学研究-陕070558漫谈构造性方法与非构造性方法

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1、资料编号13740赖章荣发表在陕070558上属于思维、思想、构造题为《漫谈构造性方法与非构造性方法》1方法概述在数学中，要证明某类对象的存在性一般有两种方法：一种是构造出这类对象的具体例子，这种方法叫做构造性方法；另一种是应用反证法，即假定这类对象不存在，然后通过推理得出矛盾，从而由排中律就可证明这类对象的存在性，这种方法叫做非构造性方法（或纯粹存在性证明方法）.例如，古希腊毕达哥拉斯学派的成员发现了不可公度的量，证明了无理数的存在性；利用辗转相除法可经有限步计算后得到两个整数的最大公因数;魏

2、尔斯特拉斯给出函数，其中a为奇整数，0

3、57—1是一个合数，直到20世纪80年代，人们用电子计算机才找到了该数的真因数.2历史上的争议对构造性方法，大家自然是认可的，但对非构造性方法却是褒贬不一，特别是19世纪以来，非构造性方法在数学界引起了很大争议.一方面，由于非构造性方法在数学存在性证明中的巨大威力，许多数学家对它赞叹不已.例如，欧几里得在《几何原本》中关于“素数有无限多个”的非构造性证明被许多人认为是数学证明的典范，20世纪的英国数学家哈代称赞它“在思想和演算上都很简单，但毫无疑问它是最高水平的定理，现在仍然像刚发现时那样生机勃

4、勃而举足轻重——两千多年的岁月没有使它产生一丝陈旧感美国当代数学家里查兹称赞非构造性方法说:“这种方法体现了数学家的创造力，也是他们与墨守成规的实践者的区别所在但另一方面，一些人却怀疑或否认非构造性方法.有的人想在有限范围内找出非构造性方法的错误来，更多的人否认非构造性方法在无限意义上的可靠性，因为这种可靠性是无法彻底验证的.例如，针对高斯在1796年给出的“以费马素数（即形如22"+1的素数）为边数的正多边形都可用尺规作图”的非构造性证明，德国人黎西罗在1832年作出了正257(=223+1)

5、边形，而赫姆斯更是不辞辛劳地用10年时间作出了65537(=224+1)边形，仅手稿就有一大箱，至今仍保存在德国哥廷根大学.又如，1888年，当希尔伯特用非构造性方法推广了不变量理论中著名的“果尔丹定理”时，就曾引起一场风波，不变量之王果尔丹说：“这不是数学，这是神学.”林德曼也说：“令人不快，有害，古怪但克莱因、凯莱却意识到了希尔伯特工作的价值，克莱因赞美说：“非常简单，在逻辑上是不可抗拒的.”他还把希尔伯特的文章带到国际数学会议上去介绍.后来果尔丹也逐渐接受了这种证明方法，他说:“我终于相信

6、神学也有其优点.”从19世纪末到20世纪初，对非构造性方法的争议逐渐达到高潮.19世纪70年代，康托尔用非构造性方法证明了实数有无数多个，进而给出了超穷数理论，创立了集合论.超穷数理论被希尔伯特称作是“数学精神最令人惊喜的花朵，人类智慧活动最漂亮的成果”，罗素也称康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作但是这个理论大量使用了非构造性方法，体现了“实无穷”观点，因而遭到康托尔的老师、柏林学派的领袖人物克罗内克的粗暴攻击，致使集合论的发展受到巨大阻力，康托尔也患上了抑郁症.克罗内克被看做是

7、直觉主义的先驱，他反对用非构造性方法证明存在性，主张任何东西都要有构造步骤或判断准则，他只承认用有限步可以确定的对象，他有一句名言:“上帝创造了自然数，其余的都是人造的克罗内克否定了许多非构造性的存在定理，例如，他不承认波尔查诺——魏尔斯特拉斯定理，使得他的好朋友魏尔斯特拉斯宣布要与他完全断交.但许多著名的数学家深为康托尔的新理论所感动，他们坚定地站在康托尔一边.希尔伯特在德国积极传播康托尔的思想，他说:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去.”后来，集合论中陆续发现了悖论，特别是1

8、903年罗素发表了其著名的悖论，动摇了集合论这个整座数学大厦的基础，引发了第三次数学危机，从而导致了关于数学基础的大论战，形成了相互对立的三大学派：逻辑主义、直觉主义和形式主义学派.直觉主义学派是反对非构造性方法的，认为非构造性方法是产生悖论的原因.法国数学家庞加莱被称为半直觉主义者，他坚持所有的定义、证明和对象都必须是构造性的，他反对纯粹性地谈论所谓的存在性，认为根本不能进行无穷的构造.直觉主义系统理论的创立人是荷兰数学家布劳威尔.直觉主义的著名口号是“存在必须被构造”，主张概念和方法上的构造