中学数学研究-陕140135高中向量教学的误区及思考

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1、资料编号14490平面向量曹军发表在陕140135上属于教法、辅导、课本摘要题为《高中向量教学的误区及思考》曹军（江苏省丰县中学）向量进人高中数学教材已经好几年了。关于向量法，近几年数学期刊上的文章很多，但仔细品味所见诸例的解法，却不免困惑:解题过于注重代数形式，忽视几何性质，以致运用向量法解题时出现大量的运算，较为繁琐。将向量引退入中学教材的一个重要原因是其具有几何形式和代数形式的“双重身份”。既然教材引人了向量法，那我们就要把向量的特点充分发挥出来，而不是“穿新鞋走老路”。笔者借此机会提供高三复习过程中的两个

2、教学片断，供同行借鉴乃至有所启迪。即M是BD的一个三等分点。教学参考书和很多辅导书都给出了上述解法或者类似的解题思路。笔者的教学设计也采用了上述解法。意料之外的是，看似简单常规的向量题目，却在教学过程中发生了不小的意外。学生1:由条件容易得到DDME∽DBMA，从而，即M是BD的一个三等分点。教师:很好，简洁明快，但请你注意本题的要求是用向量法证明.事实上，学生1提供的方法比向量法更简洁、更容易理解。初中生很容易解决的题目，到了高中反而越来越复杂了。此刻，如何向学生解释向量法的先进性就显得尤为重要。否则，会给学生

3、带来向量法不如综合几何法的印象，也极有可能扼杀学生探索向量的欲望。教师:能否利用向量法非常简单地证明此题呢？学生都陷人深深的思考中。教师：我们知道,平面向量基本定理的重要前提要让学生掌握和熟练运用某个知识，教师就要有意识地给学生提供该知识应用的不同背景，学生只有在不同的背景中，形成了自觉运用该知识的“思维定势”时，才可以说是真正掌握了知识。为此，笔者又提供了一个问题，供学生思考。笔者认为引人向量法，首先要让中学教师能够感受到向量法的优势，而不是可有可无，更不是增加负担。单撙教授认为：同一个数学问题的不同解法，可以

4、有美丑之分。简洁明快是一种数学美。在数学解题教学中，要引导学生寻求更美的解题方法。解题及教学应该从学生已有的知识基础和经验出发，跟着学生的感觉走，努力寻求自然的解法，这才是最真实和最宝贵的。因此，我们要寻找向量法解题的自然解法：用向量法处理涉及交点的问题，诀窍在于从一个涉及解题目标的向量等式出发，利用题设条件和向量等式代换，尽量把等式中的向量都转化到相交直线上，从而应用平面向量基本定理获取关键信息。心中只要有这个意识，绝大多数问题都可迎刃而解。所以，教学过程中，要让学生领略解题的核心方法，领略对数学的本质认识，领

5、略对数学规律的理性认识。这些认识在活动中被反复利用，带有普遍的指导意义，旦諸古粉坐知田*fr券細ituW®的崧豆ffi相事实上，构造数量积和建立坐标系是向量问题代数化的常用方法，这种思维方式学生已经掌握。思路2对等式两边平方，实际上是两个向量自身作了一次“点乘”。此题如果固步于以上解题思维，未在此基础上再引导学生“探一探”，就会错失向量所具有的几何形式。教师：还有别的解题思路吗？图7而l，即.教师:此结论说明：当F在直线DE上的任意位置时，为定值“你能联系这一结论解决前面的问题吗？学生3:如图6所示，连接AB，则

6、直线AN平行移动至与圆弧AB相切于一点时，的值最大，记切点为E。此时，所以的最大值为2。至此，学生都对学生3的独到见解给予肯定并报以热烈的掌声。为使这种数形结合思想的应用更加深入人心，并对它的应用规律的理性认识更加丰富深刻，笔者又创设了如下的问题情境，供学生思考u例2如图7，_P是正六边形ABCDEF中DCDE内（包括边界）的动点，设=+则的取值范围是。(连接BF，易得[3,4])从上面的两个教学片断来看，向量问题的解题方法朝着更高的目标提升，还有很大的空间。同时，从这里也可看出，不是向量法本身有问题，而是没有正

7、确使用向量法来解题。因此，在使用向量法解决问题的时候，无需死守套路，完全可以根据几何意义列出等式，计算与图形融为一体。关键在于领会向量几何意义，其运算不仅仅是数的运算，还包括对图形的理解，这是向量法解题的特点。基于以上两个教学片断，笔者有以下几点感悟：第一，教师要独立开展解题活动。单撙教授指出：应该睁开眼睛看，切莫被别人牵着鼻子走。如果有别人的或者书上的问题解答，千万注意不可盲从，很多现成的解答并不是最好的解答，有的十分拙劣，与其被这样的解答牵着走，不如自己去想。现在的教学辅导材料都是提供答案的，虽然从某种意义上

8、节省了时间，但也容易禁锢我们的解题思维。文献[2]第8页中也一针见血地指出：现在的向量教学和解题存在“穿新鞋走老路”的现象，披着向量的外衣，但实际上还是原来“综合几何法”或“坐标法”那一套。这种现象的造成，追本溯源，教材和教学参考书的编写者要负相当大的责任。教材和教学参考书这个源头出了问题，中学教师纷纷依葫芦画瓢，又在杂志上发表类似的文章，导致对向量法的误读进一步扩散。事