中学数学研究-上030714一堂有关水箱外壳的数学讨论课

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1、资料编号14833导数陈金浩发表在上030714上属于高考、考试、探究题为《一堂有关水箱外壳的数学讨论课》2002年普通高校春季招生考试数学(理工医农类)试卷的第12题是一道精彩的好题，既可以根据图形，凭直观得出解答，又可以通过逻辑推理给出解答.放手让学生在课内自由讨论.下面是这堂讨论课的实录.首先出示题目：用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格(长x宽的尺寸如各选项所示，单位为m).若既要够用，又要所剩最小，则应选择的钢板的规格是()(A)2×5;(B)2×5.5;(C)2×6.1;

2、(D)3×5.教师:请同学们认真读题并独立思考.学生1:选D.因为在3×5钢板的四角各截去一个边长为m的正方形，可制得一个无盖长方体水箱.这时长方体水箱的长为4m,宽为2m,高为m,容积为4m3.板书：画图1和图2.棱都相等，即为正方体时，其6个面的面积和为最小，而无盖长方体水箱只有5个面，所以上述结论就不能成立.现在我感觉正确的答案应该是C，2x5和2x5.5两种规格的钢板都因面积太小而不能制成满足要求的水箱.不知我的猜想是否正确？教师：你的猜想是正确的.那么我们如何来证明呢？学生:沉默.教师:我们考虑如何把实际问题的条件用

3、数学式子表达出来.学生1:设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z，体积xyz=4,表面积S=xy+2xz+2yz.教师:对.那么x、y、z的取值范围是什么?学生1:x>0,y>0,2,z>0.教师:为什么水箱高z的取值范围不是0

4、求出的x、y、z的值来选择钢板的规格，使所剩为最小.教师:对.我们应该用什么方法求水箱表面积最小值？众学生:用平均数不等式.教师:学生3,你前面用平均数不等式进行过证明，你现在做出来了吗？学生3:没有.教师:那么你是怎么做的？学生3:因为xyz=4,所以我用表示xy，2yz+2xyz=2z(x+y)，其中x+y无法用z来表示.教师:你是嫌三个变量x、y、z太多，想消