中学数学研究-肃131053对比教学法在大学数学教学中的应用

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1、资料编号16145对比大学王晶囡发表在肃131053上属于教法、理论、模式题为《对比教学法在大学数学教学中的应用》引言对比教学法，实际上就是一种组合方法，通过前后、左右、上下的知识或理论进行比较，来寻找知识异同的教学方法.这种讲课的方法关键是要抓住概念、定理和例题之间的相同点和不同点，进行分析、观察、总结和研究.常微分方程课程是信科专业(数学专业)学生的必修课，也是数学分析的后继课程，在物理科学、航天科学以及生态科学中有着重要的应用.复变函数与积分变换(复变函数)是工科和理#专业课(信科专业或数学专业）的基础学€，既起到了拓展知识的作用又为以后

2、所学的专业课奠定必要基础.掌握这门学科的理论知识是为了更好地学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学、电子技术以及信号处理等课程做准备.如何使学生更好掌握这些抽象的数学知识是一个重要的课题.首先，让学生了解所学学科的重要性，引导学生走出数学分析或高等数学没学好，常微分方程或复变函数与积分变换就一定不能学好的误区.在讲课中进行兴趣式教学、启发式教学以及对比教学.本文主要研究对比教学在常微分方程和复变函数与积分变换中的应用，对比教学的特点是可以引导学生自发的寻找知识之间的差异，从而更好的掌握课程内容.1对比教学法在常微分方程中的应用常微分方程的教学方

3、法有很多,除了可以用启发探究教学法[1]、示范教学方法、概括教学方法和反馈教学方法以外还可以用对比教学法.1.1比较的具体内容比较的具体内容主要是对各类微分方程的类型和解法的比较.主要包括:一阶可积微分方程之间的类型比较，如分离变量方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、线性方程、伯努利方程、恰当微分方程;一阶微分方程与高阶微分方程中的相似和不同，如常数变易法;一阶微分方程与微分方程组之间的关系，如存在唯一性的证法的异同;高阶线性微分方程与微分方程组之间的转换性、可逆性，以及得到的解之间的关系;微分方程组中的一般基解矩阵与指数基解矩阵之间的内在联

4、系等问题.1.2常微分方程和实际问题的联系常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明还早.纳皮尔发明对数、伽利略研究自由落体运动、笛卡儿在光学问题中提出的由切线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程[2].把实际问题与抽象的微分方程类型比较，找出问题的归属类型给出相应解法，这样的教学更有意义，例如马尔萨斯(Malthus)人口增长模型属于分离变量方程，用积分法求解;Logistic人口数量模型属于二阶伯努利方程，通过变换可化成一阶线性方程，用常数变易法求解.方程组的周期解可与意大利数学家Volter

5、ra建立的二维捕食与被捕食模型联起来.在讲解微分方程的级数解法时，可用贝塞尔研究行星运动[3]时导出的贝塞尔方程为例，将其与欧拉方程在形式和解法方面进行对比.在讲解图解法时，把方向场与电力线进行对比教学.2对比教学法在复变函数与积分变换中的应用2.1比较的对象从课程涉及到的内容出发，这门课程由两个部分组成，一是研究复自变量的复变函数，二是通过积分运算，把一个函数变成另外一个简单函数的积分变换.由于要求自变量和函数都要从实数域推广到复数域中，所以复变函数的基本理论大多是将高等数学的知识平移得到的，但也有很多不同.所以在教学中把二者进行对比教学是非

6、常有必要的.这不仅可以回顾高等数学的基本理论知识，更重要的是能够让学生更扎实的学好这门课的基本概念和理论.让他们认识到当定义域和值域扩大之后，高等数学中的一些定理和规律就消失了，相应的法则也不成立了.即使有些概念在形式上是统一的，但在本质上是却有很大差别的.例如，高等数学中的实指数函数是定义在整个实数轴上的单调增函数，不具有周期性质且值域为正数而复指数函数是周期函数且其值域也不是正实数了.2.2比较的具体内容既然复变函数理论是一些髙等数学知识的相应平移，要将两者中的相似概念进行对比找出本质差别，即相同中的不同之处.例如，复变函数的极限和连续性的

7、定义与一元实函的极限和连续性的定义在形式上除了符号，一个实的，另一个是复的以外就没有任何差别了，但是它们的趋向点的方向却有着本质的不同.对于实数极限的趋向的方向是左右的，而对于复数趋向的方向则是四面八方的.其次，比较在复变函数中出现新的概念、新理论与已知概念和理论的相关性，引导学生思考出现的新概念和新理论是为解决了哪些问题而提出或建立的.例如，解析函数相当于高等数学中的可导函数的位置，利用解析函数的闭曲线积分值为零，可以解决一类闭曲线积分问题.最后，对比实变函数与复变函数之间有哪些相互渗透作用.如高等数学中的正项级数收敛问题解决了复变函数的级数

8、收敛问题.复变函数的围道法解决了实函数中的某类无法求解无穷区间的积分等问题.2.3复变函数与积分变换和实际问题的联系在授课中，是一言堂的快速罗列还是有