《简单的线性规划问题》教案

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1、《简单的线性规划问题》教案教学目标1．知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．教学重、难点重点：用图解法解决简单的线性规划问题．难点：准确求得线性规划问题的最优解．教学过程1．理解线性规划的有关概念剖析：(1)线性约束条件

2、就是指变量x，y满足的二元一次不等式组．(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定，一次解析式z＝Ax＋By＋C，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．当B≠0时，由z＝Ax＋By＋C，得.这样，二元一次函数就可视为斜率为，在y轴上截距为，且随之变化的一组平行线．于是把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上截距的最大值或最小值问题．当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大．当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．(3)可行解必须使

3、约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．即可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点)．可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．2．确定线性规划中的最优解剖析：根据解题经验，确定最优解的思维过程是：线性目标函数z＝Ax＋By＋C(A，B不全为0)中，当B≠0时，，这样线性目标函数可看成斜率为，在y轴上的截距为，且随z变化的一组平行线，则把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或

4、最后通过的可行域的顶点就是最优解．应特别注意，当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．通常情况下，可以利用可行域边界直线的斜率来判断．对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得．若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解．上述求整点最优解的方法

5、可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．3.典型例题例1已知满足不等式组，试求的最大值时点的坐标，及相应的的最大值【审题要津】先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使取最大值时的点并求最大值解：如图所示平面区域，点，点，点的坐标由方程组得（），由，　　得=-,欲求的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求的最大值，因直线=-与直线=-平行，故作与=-的平行线，当过点（0，125）时，对应直线的截距最大，所以此时整点使取最大值，=300×0+900×125=112500．【方法总结】1.在线性约束条件下，求的最值时，作图需准确，要区别目标

6、函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系，分清目标函数所对应直线在轴上的截距与的关系．用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”．变式训练：已知满足约束条件求目标函数的最大值，并求整点最优解．解：可行域如图所示：四边形易求点（0，126），（100，0）由方程组：得点的坐标为（69,91)因题设条件要求整点使取最大值，将点（69，91），（70，90）代入，可知当时，取最大值为=600×70+300×900=69000，最优解为．例2营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，食物含

7、有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费28元；而食物含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物和食物多少？【审题要津】先将已知数据列成下表，使题意直观化．食物／碳水化合物／蛋白质／脂肪／0.1050.070.140.1050.140.07解：设每天食用千克食物，千克食物，总成本为．那么　　①目标函数为　　　．二元一次不等式组①等价于　　②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域．考虑，将它变形为随变化的一族平行直线．是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小．当然直

8、线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值．由图可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小．解方程组　　　　　　　　　　　得点的坐标为　　　　所以．答：每天食用食物约，食物约，能够满足日常饮食要求，又使