2011数学归纳法讲义

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1、数学归纳法及其应用举例白银市第八中学杨言红导引一问题1已知，(n∈N*),(1)分别求(2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?问题2费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．问题3,当n∈N时，是否都为质数？验证：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（

2、6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝，是合数导引二引例1明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．引例2有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干

3、瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明．又如：给出等差数列前四项,写出该数列的通项公式．又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．数学证明方法有：1.演绎法：从一般到特殊的方法2.归纳法：从特殊到一般的方法(1)不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理。(2)完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等不完全归纳法

4、是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法。由它得出的结论未必正确。用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。新知识(1)当n＝1时等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立,即ak=a1+(k－1)d,则ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d,即n＝k＋1时等式也成立．证明等差数列通项公式：数学归纳法引导：an=a1+(k－1)d，n∈N*于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d对任何n∈N*都成立．

5、数学归纳法完成这两个步骤后,就可以断定命题P(n)对从n0开始的所有正整数n都成立．(1)证明当n取第一个值n=n0（n0∈Ｎ）时P(n)成立;第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果:(2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时P(n)成立,由此推得当n＝k＋1时P(n)也成立．1.第一步(1)，是否可省略？答案是：不可以省略。思考下面举一个反例。2＋4＋6＋…＋2n＝＋n+1(n∈N)成立吗？问题：用数学归纳法证明:2＋4＋6＋…＋2n＝＋n+1(n∈N)的步骤如下：假设当n＝k时等式成立。即2＋4

6、＋6＋…＋2k＝＋k＋1则2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1）＝＋k＋1＋2（k＋1）＝＋（k＋1）＋1这就是说，当n＝k＋1时等式成立。根据数学归纳法2＋4＋6＋…＋2n＝＋n+1对n∈N都正确。评析：用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！证明：当n=1时，左边＝2，右边＝3，等式不成立；哪错了？？？？2.第二步.(2)，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是

7、在第一步的正确性的基础上，证明传递性。归纳：重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。思考例题1在数列{}中,＝1,(n∈),先计算，，的值，再推测通项的公式,最后证明你的结论．第三阶段:例题讲解：例题2用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。例3用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，

8、等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。这就是说，当n=k+1时等式也成立。例４，用数学归纳法证明：1.用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2.2.用数学归纳法证明：首项是a1,公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn－1.练习3.用数学归纳法证明:其中n∈N*能被13整