浙江2020版高考数学第七章数列与数学归纳法7.5数学归纳法讲义（含解析）

《浙江2020版高考数学第七章数列与数学归纳法7.5数学归纳法讲义（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§7.5　数学归纳法最新考纲考情考向分析会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式．在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．概念方法微思

2、考1．用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．因为n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？提示　不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.2．数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示　不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可．3．有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示　不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”

3、)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　)题组二　教材改编2．[P99B组T1]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－

4、3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.3．[P96A组T2]已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.答案　3　4　5　n＋1题组三　易错自纠4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2

5、＋a3答案　C解析　当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.5．对于不等式

6、纳法．6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________．答案　2k解析　运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)．当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和．当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项．题型一　用数学归纳法证明等

7、式用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．证明　①当n＝1时，左边＝＝.右边＝＝.左边＝右边，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②可知对于一切n∈N*等式都成立．思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0并验证当n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题

8、型二　用数学归纳法证明不等式例1(2017·浙江)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)0＜xn＋1＜xn；(2)2xn＋1－xn≤；(3)≤xn≤.证明　(1)用数学归纳法证明xn＞0.当n＝1时，x1＝1＞0.假设n＝k时，xk＞0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，与假设矛盾，故xk＋1＞0，因此xn＞0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1