资源描述：
《2-1-抛物线及其标准方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4抛 物 线2.4.1抛物线及其标准方程一、抛物线的定义定点F定直线l相等思考:定义中为什么加上条件“l不经过F”?提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.二、抛物线的标准方程标准方程图 形焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)(,0)x=-y2=-2px(p>0)___________(-,0)x=标准方程图 形焦点坐标准线方程x2=2py(p>0)_____________x2=-2py(p>0)_____________(0,)y=(0,)y=判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线的方程都是
2、二次函数.()(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.()(3)抛物线的开口方向由一次项确定.()提示:(1)错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的方程为y2=2px(p>0),对任一个x的值,y的值不唯一,所以不是二次函数.(2)正确.在抛物线标准方程中,p>0,焦点到准线的距离为p.(3)正确.一次项是x项时,p>0开口向右,p<0开口向左;一次项是y项时,p>0开口向上,p<0开口向下.答案:(1)×(2)√(3)√【知识点拨】1.对抛物线定义的理解(1)定义条件:直线l不经过定点F.(2)一动三定:①“一动”,即动点P;②“三定”,即定点F
3、,定直线l和定值,也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.2.抛物线标准方程的特点(1)方程特点:抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程,等号的左边是其中一个变量的平方,另一边是另一个变量的一次项.(2)参数p:在抛物线的方程中只有一个参数p,它的几何意义是焦点到准线的距离,因此p>0,p越大,抛物线开口越开阔,反之越扁狭.(3)四种标准方程的位置的相同点:①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③准线与焦点在原点两侧,且准线与其中一条坐标轴垂直.3.抛物线的焦点及开口方向4.抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),当b
4、,c为0时,y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2=y,a>0时抛物线开口向上,a<0时,抛物线开口向下,当抛物线的开口方向向左或向右时,方程为y2=2px,这是一条曲线,不能称为函数.类型一根据方程求焦点和准线方程【典型例题】1.(2013·南昌高二检测)抛物线x=-2y2的准线方程是()A.y=B.y=C.x=D.x=2.指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y=x2.(2)x=ay2(a≠0).【解题探究】1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先要做什么?2.当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线?探究提示:1.求抛物线的焦点坐标和准线
5、方程时,首先应把所给方程化成标准形式,然后找出开口方向再求性质.2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应分类讨论.【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-x,∴抛物线开口向左且p=,∴准线方程为x=.2.(1)抛物线y=x2的标准形式为x2=4y,∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=x,∴2p=.①当a>0时,抛物线开口向右,∴焦点坐标是(,0),准线方程是x=-;②当a<0时,抛物线开口向左,∴焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.综上所述,当a≠0时,抛物线
6、x=ay2的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.【互动探究】题2(2)中,把方程改为x2=ay(a≠0),结果如何?【解析】方程x2=ay是抛物线的标准形式,由方程知,其焦点在y轴上,其焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.【拓展提升】1.求焦点坐标和准线方程的步骤2.判断焦点位置及开口方向的记忆口诀焦点要看一次项,符号确定开口方向,如果y是一次项,负时向下,正向上,如果x是一次项,负时向左,正向右.【变式训练】(2013·亳州高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则p的值为.【解题指南】求出抛物线的焦点和椭圆的右焦点,建立方程求解.【解析
7、】抛物线的焦点是(,0),椭圆中,c2=6-2=4,∴右焦点为(2,0),由=2得p=4.答案:4类型二求抛物线的标准方程【典型例题】1.(2013·安阳高二检测)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x2.根据下列条件,求抛物线的标准方程:(1)焦点到准线的距离是4.(2)过点(1,2).【解题探究】1.求抛物线的标准方程的关键是什么?2.已知抛物线上一点时,如何确定开口方向?探究提示:1.求抛物线的标准方程的关键是首先明确抛物线焦点的位置.2.若点在第一象限时,抛物线的开口向
8、右或向上;若点在第二象限时,抛物线的开
