充要条件.ppt

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1、1．2.2充要条件1．理解充要条件的意义．2．会判断、证明充要条件．3．通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．研题型学习法题型一充分条件、必要条件与充要条件的判断例1下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；(4)p：x＞5，q：x＞10；(5)p：a＞b，q：a2＞b2.解析：命题(1)和(3)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；命题(2)中，p⇒q，但qD⇒/p

2、，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pD⇒/q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；命题(5)中，pD⇒/q，且qD⇒/p，故p不是q的充要条件．规律方法：判断充要条件的三种方法．(1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B⊆A，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、B互为充要条件．(3)等价法：即利用等价关系“A⇒B⇔綈B⇒綈A”判

3、断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法．►变式训练1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈

4、p，但綈pD⇒/綈q，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为p：A＝{(1，2)}，q：B＝{(x，y)

5、x＝1或y＝2}，所以AB，所以p是q的充分不必要条件．题型二充要条件的证明规律方法：数学概念的定义具有对称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质．证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．►变式训练2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2

6、＋bx＋c＝0有一个根为2，∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴充分性成立．因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.题型三充要条件的探求►变式训练3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m

7、＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：A析疑难提能力小结充要条件的定义充要条件的证明