函数性质的探究与应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.comg2006年1O月，第4卷。第9期rv]==函数性质的探究与应用章丽琴浙江省台州市黄岩芙石中学(浙江台州318024)中图分类号：G633．62文献标识码：A文章编号：1812—5867(2006)09—0016-03函数是高中数学的一条主线．也是发展代数综合能力的[反思]特别地，当a=O，b-O时，问题(1)(2)即为偶函数重要载体，函数概念、性质和思想贯穿于整个初等数学和中的图像关于直线x-O(即Y轴)对称；奇函数的图像关于原点学数学，函数同时也是高等数学、数学分析内容的主要研究(0，0

2、)对称。‘对象，它的应用十分广泛，因此在历年高考和高中数学联赛[例1]已知函数fix)满足f(1+x)-f(3一x)，当x>2时，f(x)=)【·中，与函数相关的考题比例最高；在以能力立意，以考查数学(4-3x)，则x<2时，fl(x)=?——素养为目的高考和联赛命题改革中．重视运用函数的概念和[分析与探究．‘fl+~-f(3_x)，即函数x)的图像关于直性质，综合数列、不等式乃至解析几何等知识，考查是否能够线x=2对称，即f(x)=4_x)，．‘．当x<2时，一一2，则4_x>2把各部分知识融会贯通地掌握，从整体上把握数学是什么，．．f

3、(x)-f(4-x)=(4-x)·【4_3(4-x)]=-3x2+20x-32这已成为高考和联赛命题的一个显著特点。函数的性质通常二、函数的周期性是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、[问题2】当m#0，a#b，证明以下结论。对称性等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，(1)若f(x+m)=一f(x)，则fix)是周期函数，且2m是它的一巧妙利用函数及其图象的相关性质．可以使得问题得到简个周期。化，从而达到解决问题的目的。(2)若fx+m)-f(x—m)，则f(x)是周期函数，且2m是它的一一、函数的对称性个

4、周期。【问题I](3)若f(x+m)=，则f(x)是周期函数，且2m是它的一(1)函数y--f(x)~任意实数x，总有f(a—x)=f(b+x)，a，b为常个周期。数，问函数y=f(x)的图像有何性质?证明你的结论。(2)函数y-f(x)~任意实数X，总有f(a-x)：_-f(b+x)，a，b为(4)若f(x+m)=一，则f(x)是周期函数，且4m是它的常数，问函数y--f(x)I~I图像有何性质?证明你的结论。一个周期。【分析与探究](5)若f(a+x)-f(a-x)J~f(b+x)-f(b-x)，则f(x)是周期函数，且(1)函数y=

5、f(x)l~l图像关于直线】【=旦对称。2la．_bl是它的一个周期。(6)若f(x+a)·f(x+b)：1，则fix)是周期函数，且2Ia--bI是事实上，设y-f(a一)【)：b+x)，则点P(a—x，y)，Q(b+x，y)都在它的一个周期。函数y：f(x)的图像上，又因为垒±=旦且P、Q两点(7)~fx+a)：1f(x+b)，则f(x)是周期函数，且4Ia_bI是-的纵坐标相等所以PQ重直直线x=旦且被其平分，故P、Q它的一个周期。[简证如下]两点关于直线x=旦对称，而P．Q两点是曲线y=f(x)的动(1vr(x+m)=_f(x)，

6、．‘』(x+2m)_-f[(x+m)+m]=一f(x+m)-f(x)点，所以函数y=f(x)的图像关于直线x=对称。(2)令x-m=t，则x+m=t+2m，即有f(1+2m)=f(1)，即fx+2m)=fl(x)。(2)函数y=f(x)l~l图像关于点M(旦，0)对称。1一(3)1-’f(x+2m)=f[(x+m)+m]=．i1-f(x+my)：-f(x)事实上，设y：a-x)=-f(b+x)，则点R(a-x，y)，S(b+x，-y)都在+f(x+函数y：f(x)的图像上，又因为垒±：旦且R‘。1+ffx1、S两点(4)’·_f(x+2m

7、)=f[(x+m)+m_-1-f(x+m)-=一的纵坐标互为相反数，所以线8kRS~J中点上定点M(a+b+f(x+，·0)，即R、S两点关于定点M对称，而R、S两点是曲线y=fl(x)上的··f(x+4m)=q(x+2m)+2m]=一丽壶f(x)，故结论成立。(5)依题意，x=a和x=b都是fl(x)的对称轴，而这两条对称动点，所以函数y：x)的图像关于定点M(，0)对称。轴间的距离Ia_bl恰好是f_(x)的半个周期，故f(x)的周期为2维普资讯http://www.cqvip.com中国教育与教学ChinaEduc口砌n回la—bl

8、。A、y=loga(x一4)B、y=4—1ox一1)(6)显然f(xa)≠0，f(x+b)≠0·f(x+a)1C、y=4+log2(x一1)D、y=一1og：(x一1)【分析与探究】由图像关于