24.1.2垂直于弦的直径.ppt

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1、24.1.2垂直于弦的直径1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明.2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.3.通过圆的对称性,培养学生的数学审美观,并激发学生对数学的热爱.学习目标学习重点:理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其推论,学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题。学习难点:垂径定理及其推论。自学指导认真看书81-83页,独立完成以下问题,看谁做得又对又快?1、结合81探究,同学们动手操作,你发现了什么?你得到什么结论?你会证明你的结论吗?2、什么是垂径定理?它的推论是什么?3、你知道解例2的每步依据

2、吗?问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?一、情境导入想一想:将一个圆沿着任一条直径对折,两侧半圆会有什么关系?【解析】圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,所以两侧半圆折叠后重叠.二、先学环节教师释疑观察右图,有什么等量关系?AO=BO=CO=DO,OO已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.求证:AE=BE,垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两

3、条弧.垂径定理【证明猜想】判断下列图形,能否使用垂径定理?【解析】定理中两个条件(直径、垂直于弦)缺一不可,故前三个图均不能,仅第四个图可以!【定理辨析】例1:如图,已知在圆O中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离为3㎝,求圆O的半径.EOAB【解析】根据题意得,AE=4cmOE⊥ABOE=3cm在Rt△OEA中,根据勾股定理得:AO2=OE2+AE2=32+42=25,AO=5cm.【例题】变式1:AC,BD有什么关系?变式2:AC=BD依然成立吗?变式3:EA=____,EC=_____.FDFB变式4:______,AC=BD.OA=OB变式5:______,AC=B

4、D.OC=OD【归纳】如图,P为⊙O的弦BA延长线上一点,PA=AB=2,PO=5,求⊙O的半径.MPBO关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线.【解析】提示作OM垂直于PB,连接OA.答案:A【跟踪训练】三、后教环节突出重点突破难点画图叙述垂径定理,并说出定理的题设和结论.题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分⑤直线CD平分(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条

5、弧.【推论1】如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD,EF⊥CD,你能得到什么结论?圆的两条平行弦所夹的弧相等.FOBAECD【推论2】3.(安徽·中考)如图,⊙O过点B,C.圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.B.C.D.【解析】选D.延长AO交BC于点D,连接OB,根据对称性知AO⊥BC,则BD=DC=3.又△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,则AD==3,∴OD=3-1=2,∴OB=【解析】连接OB,则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D,所以AD=BD=3,所以AB=6.答案:6

6、4.(毕节·中考)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l,则弦AB的长是.2.(湖州·中考)如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是()A.AE=OEB.CE=DECEC.OE=D.∠AOC=60°B1.(绍兴·中考)已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是()A.3B.4C.6D.8D四、当堂检测巩固新知2、已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证:AC=BD.证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE.AE-CE=BE-DE.所以,AC=BDE.

7、ACDBO通过本课时的学习,需要我们:1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明.2.掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.五、课堂小结六、家庭作业1、必做p89页2题90页9题2、选作p89页1题

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