2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程讲义（含解析）新人教a版

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1、2．2.1　双曲线及其标准方程　　　　预习课本P45～48，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？　　　2．什么是双曲线的标准方程？　　1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[点睛]　平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a，关键词“平面内”．当2a<

10、F1F2

11、时，轨迹是双曲线；当2a＝

12、F1F2

13、时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条

14、射线；当2a>

15、F1F2

16、时，轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2[点睛]　(1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定．1．判断下列命题是否

17、正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线(　　)(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b(　　)(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)A．(－，0)，(，0)　　　　B．(－5,0)，(5,0)C．(0，－5)，(0,5)D．(0，－)，(0，)答案：B3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足

18、PF1

19、－

20、PF2

21、＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)A.－＝1(

22、x≤－4)B.－＝1(x≤－3)C.－＝1(x≥4)D.－＝1(x≥3)答案：D4．双曲线的两焦点坐标是F1(0,3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．答案：－＝1双曲线标准方程的认识[典例]　已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)A．k>5　　　　　　　B．k>5或－22或k<－2D．－2

23、k

24、－2)>0.即或解得k>5或－2

25、程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　　　　　[活学活用]1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)A.　　　　　　　　　　B．5C．7D.解析：选D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解析：选C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦

26、点在y轴上的双曲线.求双曲线的标准方程[典例]　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；(3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)．[解]　(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以2a＝

27、－

28、＝

29、13－5

30、＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.所以所求双曲线的标准方程是－＝1.(3

31、)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a