2018_2019学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数讲义

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1、1．1.2　瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．问题1：当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．问题2：割线PPn斜率是什么？提示：割线PPn的斜率是kn＝.问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能．1．割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．2．切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割

2、线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S＝8－3t2，其中S表示位移，t表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝－6－3Δt.问题2：Δt的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度．2．瞬时速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么

3、这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导　数1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．3．导函数(

4、1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．求曲线上某一点处的切线[例1]　已知曲

5、线y＝x＋上的一点A，用切线斜率定义求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．[思路点拨]　先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．[精解详析]　(1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－＝＋Δx，∴＝＋＝＋1.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是.(2)切线方程为y－＝(x－2)，即3x－4y＋4＝0.[一点通]　根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．1．曲线y＝－x2－2在点P处的切线的斜率为________．解析：设P，Q，则割线PQ的斜率为k

6、PQ＝＝－Δx－1.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于－1，所以曲线y＝－x2－2在点P处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________．解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即P点坐标为(3,30)．答案：(3,30)3．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解：设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－

7、(1＋Δx))，则kAB＝＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.瞬时速度[例2]　一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．[思路点拨]　先求出质点在t＝2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．[精解详析]　因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt