2018_2019学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2充分条件和必要条件讲义

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1、1．1.2　充分条件和必要条件充分条件和必要条件如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮．问题1：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立．p：两三角形相似，q：对应角相等．问题2：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立．一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：充要条件．1．如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件，记作p⇔q.2．如果

2、p⇒q，且q⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．3．如果p⇒/q，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．4．如果p⇒/q，且q⇒/p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p、q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件真真p与q互为充要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件充分条件和必要条件的判断[例1]　对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________．①Δ＝b2－4a

3、c≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．[思路点拨]　逐一分析Δ，根据二次函数与Δ的关系，判断结论是否正确．[精解详析]　①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能

4、Δ>0；③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．[答案]　①②④[一点通]　　充分、必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．1．从“⇒”、“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空：(1)x>1________x>0；(2)a>b________a2>b2；(3)a2

5、＋b2＝2ab________a＝b；(4)A⊆∅________A＝∅.解析：(1)由于命题“若x>1，则x>0”为真命题，则x>1⇒x>0；(2)由于命题“若a>b，则a2>b2”为假命题，则a>b⇒/a2>b2；(3)由于命题“若a2＋b2＝2ab，则a＝b”为真命题，且逆命题也为真命题，故a2＋b2＝2ab⇔a＝b；(4)由于命题“若A⊆∅，则A＝∅”为真命题，且逆命题也为真命题，故A⊆∅⇔A＝∅.答案：(1)⇒　(2)⇒/　(3)⇔　(4)⇔2．(福建高考改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．解析：因为A＝{1

6、，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0⇒/x－3＝0，故p是q的充分不必

7、要条件．(2)两个三角形相似⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．(4)a>b⇒/ac>bc，且ac>bc⇒/a>b，故p是q的既不充分又不必要条件.充分条件、必要条件的应用[例2]　已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[思路点拨]　先利用不等式的解法确定命题p、q成立的条件，再根