2019年高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.3充分条件和必要条件讲义（含解析）湘教版

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1、1．1.3　充分条件和必要条件[读教材·填要点]充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题推出关系p⇒qpqp⇔q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充分必要条件，p和q称为互相等价[小问题·大思维]1．如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示：不唯一，如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．2．若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？提示：A＝B.3．p是q的充要条件，q是s的充

2、要条件，p是s的充要条件吗？提示：是．∵p是q的充要条件，∴p⇔q.又q是s的充要条件，∴q⇔s.故p⇔s，即p是s的充要条件．充分条件、必要条件的理解下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件：(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x，则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．[自主解答]　(1)当x＝1时，x2－4x＋3＝1－4＋3＝0，因此命题是真命题，即p⇒q，故p是q的充分条件．(2)易知函数f(x)＝x在(－∞，＋∞

3、)上是增函数，因此命题是真命题，即p⇒q，故p是q的充分条件．(3)当x＝时，x2＝()2＝2不是无理数，因此命题是假命题，即pq，故p不是q的充分条件．(4)两条垂直于x轴的直线平行，但是斜率都不存在，因此命题是假命题，即pq，故p不是q的充分条件．p是q的充分条件是由命题“若p，则q”为真来定义的，因此理解时也需回归定义，从相应命题入手，若命题“若p，则q”为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若命题“若p，则q”为假，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1

4、)若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；(2)若有且只有一个实数λ，使a＝λb，则a∥b；(3)若l∥α，则直线l与平面α所成角大小为0°；(4)若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则f(x)是单调增函数．解：命题(2)(3)是真命题，命题(1)(4)是假命题，所以命题(2)(3)中的q是p的必要条件．充分条件与必要条件的判断(1)(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“

5、x－1

6、≤1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存

7、在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[自主解答]　(1)由2－x≥0，得x≤2，由

8、x－1

9、≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/0≤x≤2，故“2－x≥0”是“

10、x－1

11、≤1”的必要而不充分条件．(2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ

12、n

13、2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m·

14、n＝

15、m

16、

17、n

18、cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x≠y，则cosx≠cosy”等价于命题“若cosx＝cosy，则x＝y”，这个命题是假命题，故x≠ycosx≠cosy；命题“若cosx≠cosy，则x≠y”等价于命题“若x＝y，则cosx＝cosy”，这个命题是真命题，故cosx≠cosy⇒x≠y.故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．[答案]　(1)B　(2)A　(3)C充要条件的判断

19、方法(1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x

20、p(x)}及B＝{x

21、q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)A．充要条件B．充分不必要

22、条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sinA≤sinB，选A.答案：A3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角