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《无穷极数中的几个典型反例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1）比值差别法：?例1：?n?1?(?1)3nn?级数?n?1?(?1)3发散，但极限limun?1un并不存在n???因为级数?n?13?发散而级数?n?1n?1(?1)3n?收敛。所以级数?n?1?(?1)3n?1n发散。而un?1un??(?1)limun?1unn???lim?(?1)并不存在。n??un?1un?当然，p-级数?n?11pn也是一个典型的反例,limn??=1,但当p>1时收敛;p?1时,发散。（2）根值判别法：?例2：?n?1?n(?1)??3?nn?级数?n?1?收敛，但l
2、imn??3?nn?lim3n??并不存在。??0???n??(?1)?????3?????2?1而?????3?n?1?nn1?收敛（公比小于1的等比级数）。??3?n由比较判别法，?n?1??(?1)???3?n(?1)3n是摆动数列。故limn???lim(?1)3n??不存在。注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。二、交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。?例3：?n?2(?1)nun?1显而易见满足limun?0
3、，而不满足。un?un?1(n?1,2,?)，但作为任意项级数n??un?nn(?1)?(?1)?1?n??(?1)?n?1n?1n?1n?由级数?n?2?n?1收敛，而级数?n?21n?1?发散知，级数?n?2n发散。?例4：?(?1)n?2?n1n?(?1)nn?(?1)n?2n1n?(?1)n=(?1)(n?(?1))n?1?2n?(?1)nn?12n?1n?1?2，根据莱布尼兹判别法易知交错级数?n?2?(?1)nn?12n收敛，而?n?21n?12收敛，所以原级数?n?2(?1)n1n?(?1)n是收敛的。注：例3与例4都是不满足un?1?un的情况，不能使用莱布尼
4、兹判别法直接判定。三、幂级数中的反例?有些同学认为，如果幂级数?anxn的收敛半径R?0，那么一定有n?0liman?1ann??=L=1/R，这是不对的，因为有可能liman?1an不存在。n???例5：求幂级数?n?12?(?1)2nnx的收敛半径n同例1，可知liman?1ann?n??不存在，而?n?12?(?1)2nnn?1(?1)nn?xx=??n?1x??，显然n22n?1???n?n??n?112n?1?x与?n?1n(?1)2n所以，幂级数?x的收敛半径均为2，n?1n2?(?1)2nx的收敛半径R=2。n四、泰勒级数中的反例只要一个函数在某点处存在任意阶导
5、数,在此点处的泰勒级数一定存在,但泰勒级数作为幂级数,它在收敛域内是否收敛于函数本身？?1,x?0?例6：讨论f(x)=?en2在点x=0处的泰勒级数是否在收敛域内收敛于函数f(x)??0,x?0本身。可以证明f(x)在x=0点任意阶可导,且f?(n)(0)?=0(n=0,1,2,…)∴f(x)在点x=0处的泰勒级数为?0?xn，n?0该级数在(-∞,+∞)内的和函数s(x)=0.可见,除x=0外,f(x)在点x=0处的泰勒级数处处不收敛于f(x).另外一个例子是高数课本中的例子?例7：幂级数?n?1xn?1?n(n?1),?n?1xn?n，?xn它们的收敛半径都是1,但它们
6、的收敛域分n?0别是[-1,1],[-1,1),(-1,1).五、任意项级数中的反例?例8：（2000年考研题）设级数?un是收敛,则必收敛的级数为()n?1?(A)?(?1)n?1nunn?2n??(B)?u(C)?(u2n?1?u2n)(D)?(un?un?1)n?1n?1n?1??解应用级数的性质,收敛级数?un与?un?1逐项相加后的级数仍收敛,故(D)成立.其n?1n?1它3种情况不成立列举反例如下:(A)un?(?1)n1lnn?，则?(?1)n?1?n1lnnn?是收敛的,而?(?1)n?1?2n?nunn1n?=?n?11nlnn是发散的;(B)un?(?1)
7、nn?1则?(?1)n?1n是收敛的,而?u=?n?1n?1?是发散的;(C)un??(?1)发散的.1n?,则??(?1)n?11n?是收敛的,而?(u2n?1?u2n)=?n?1n?14n?12n(2n?1)是参考文献[1]刘红卫,于力.关于无穷多个无穷小的乘积的注记[J]1高等数学研究,2002,5(3).27.[2]B.R.盖尔鲍姆J.M.H.奥姆斯特德.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社,1980.72.[3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.09.
