点集拓扑中的几个反例

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1、点集拓扑中的几个反例点集拓扑中的几个反例郝晶5030719036前言：概念定理和习题有时显得枯燥乏味，对于反例的学习反而不失为一条捷径，对于帮助我们立体地理解整个概念可以起到事半功倍的作用。在此列出一些有趣的反例。反例一：通常我们有一种错误认为，觉得有限集的导集都是闭集。事实上，在T空间中的确如此。1下面具出一个反例，存在一个有限集，其导集非空：设X={abc,,}，令τ={Xabaca,,,,,,{}{}{}φ}，则(,)Xτ为一拓扑空间。考虑X的子集Aa={}，则点b和都是cA的聚点，故Ab'{,}=c，即有限集A的导集A'非空。反例二：对于某个集合A的导集的结构，是我们

2、所不了解的。只知道AA∪'是闭集。那么A'是否闭集呢？下面举出一个反例：存在某个集的导集，它不是闭集：设X={abc,,}，令τ={Xabc,,{},,{},φ}，则(,)Xτ为一拓扑空间。取Ab={}，易见，Ac'={}，且A'不是闭集。反例三：紧拓扑空间中的闭集必是紧集。但是，紧拓扑空间中的紧集未必是闭集。而在一般的拓扑空间中，紧集也未必是闭的。下面举出一个反例：存在某个T空间中的紧集，它不是闭的：1设X为实数集，命X的开集为空集φ以及一切XC，其中C为任意有限集。此1点集拓扑中的几个反例开集族形成为X的一个拓扑τ，（即有限补拓扑）。这个拓扑空间中的有限集都是闭的，故它

3、是一个T空间。1⎧⎫11现取X的子集A=⎨⎬0,1,,,?，并任取A的一个开覆盖：⎩⎭23μα=={UXC

4、∈Δ}，αα其中C为有限集。于是，存在U∈μ，使0∈UXC=。α000由于C是有限集，故存在某个区间I，使0∈I⊂U。00因此存在自然数n，当nn>时，00就有1x=∈⊂IU。n0n由此可见，我们可从μ中选出有限多个开集U，它们足以覆盖A，即Aα是紧的。然而，由于A是无限集，故据拓扑τ的定义，A不是闭的。反例四：在Hausdorff空间中内收敛序列的极限必唯一，然而它的逆命题成立吗？在下面举出一反例：存在一个非Hausdorff空间，其中收敛子列的极限都唯一：设R为

5、实数集，令τ=⊂{RAARA

6、,至多可数}∪{φ}，则τ是R上的一个拓扑。先证τ不是Hausdorff拓扑。设xU∈∈τ，yV∈∈τ，假定UV∩=φ，我们将证这是不可能的。事实上，根据拓扑τ的定义，存在AR⊂，使A至多可数且URA=。但UV∩=φ，故知V⊂A，于是V也至多可数。又存在B⊂R，使B至多可数且VRB=。因此，RV也至多可数，从而R=VR∪()V至多可数，矛盾。可见UV∩=φ，即τ不是Hausdorff拓扑。2点集拓扑中的几个反例再证R中收敛序列的极限必唯一。假如R中存在某个序列uu={}既收敛于x，又收敛于y，且x≠y，注意，ix∈Ry{}，于是存在n

7、N∈，使{ujNnjRy

8、,∈≤⊂}{}。j因{ujNnj

9、,∈≤}为一可数集，故jyRujNnj∈∈

10、,{≤}∈τ。j于是存在mN∈，使{ujNmjyRujNnj

11、,∈≤⊂}∈

12、,{∈≤}，jj特别，我们得到uu∉∈≤{

13、,jNnj}，这是不可能的。mn+j参考文献：《点集拓扑学题解与反例》―――――――――――――――――陈肇姜《点集拓扑讲义》――――――――――――――――――熊金城3