【优质赛课】数学人教B版必修4教案：3.1.1 两角和与差的余弦公式2 Word版含答案

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1、两角和与差的余弦公式教学设计【教学三维目标】1.知识与技能目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题；培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。3.情感、态度、价值观目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出

2、发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。【高考等级要求】C级【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标

3、表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学

4、期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。【学具准备】小黑板圆规【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】诱导公式平面向量的数量积一、产生对公式的需求引入新课（1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。二、自主探究引发思考层层深入得出结论（8分钟）独立思考以下问题：(1)向量的数量

5、积则（2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：(),()则问题1：问题2：由出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？问题3：两角和与差的余弦公式推导（一）两角差的余弦公式设如果，那么故实际上，当为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化，使。综上所述，，对于任意的角都成立。根据两角差的余弦公式，你可以猜猜提示：令（二）两角和的余弦公式（学生回答）结论：注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的。4式子的逆用，变形

6、用正因为α、β的任意性，所以赋予C(α+β)公式的强大生命力三．互相交流，小组活动公式应用闯关（12分钟）第一关：小试身手请用特殊角分别代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是30°60°45°等）(1)；(2)；(3)；……问题预测：学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同学会说他验证了cos30°=sin60°…….（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的

7、应用，我选择其中之一作示范。第二关：再接再厉若β固定，分别用代替α，你将会发现什么结论呢？设计意图：引导同学发现余弦的诱导公式可用C(α±β)公式得到证明：初步让学生发现C(α±β)公式是诱导公式的推广。（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）第三关：各显神通倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1)；(2)(3)(4)……问题预测：可能有的同学发现cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，这是以后要学的二倍角公式，还有的同学发现：cosα=cos[(

8、α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ，甚至有调皮的同学发现cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1，这就无意中证明了平方关系，……，（据此，让同学感受到C(α±β)公式的强大功能）。（必要时，教师可适当提示）。注：按课本编排未必能让同学注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予C(α+β)公式的强大生命力）。于是我设计上述三个有层次的A,B,C级的问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲