数学精神与方法(第二讲).docx

《数学精神与方法(第二讲).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2006年公共选修课·通识教育数学精神与方法第二讲有限无限纵横谈（一）杜乃林副教授（武汉大学数学与统计学院）EMAIL：hanlin066@yahoo.com.cn§2.1从自然数谈起对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列：0，1，2，3，……这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本，作为我们考察数学的起点。如果问：自然数是什么?这可就不那么容易回答了。事情说到根上，看起来简单的问题反而难以回答。皮亚诺的自然数公理系统皮亚诺（G.Peano,1958---1932）是意大利数学家、逻辑学家。三个基本概念：0，数，后继五条公

2、理：1．0是一个数。2．任何数的后继是一个数。3．若两个数不同，则它们的后继也不同。4．0不是任何数的后继。5．数学归纳法原理。注：若n是一个数，则以n+1表示它的后继。数学归纳法原理如果每个数n都对应有一个命题P(n)，又如果（1）P(0)真，（2）假若P(n)真，则必有P(n+1)真，那么对所有的数n，P(n)都真。注：数学归纳法原理是我们从有限通向无限的桥梁。关于0、数、后继皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。皮亚诺以“后继”来代表从数到数的

3、一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。“0”、“数”、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。皮亚诺的自然数公理系统将经典数学“算术化”做到了最后完善的地步从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。当然，完成这一切还需要加上一些逻辑的概念和命题。算术理论是分析数学的基础，是整个经典数学的基础；这点以后会很清楚。看明白这一点很重要皮亚诺的三个基本概念是逻辑抽象化的，只有形式

4、，没有内容，可以允许多种解释。例如，如果“0”代表实数1，“数”代表实数列1，0.5，0.25，…而一个数的“后继”规定为取这个数的一半，那么这些解释完全可以与皮亚诺的五条公理相容不悖。这表明“0”、“数”和“后继”不能由皮亚诺的五条公理去定义，而必须单独地去了解。§2.2归约到逻辑弗雷格（G.Frege，1848-1925），德国人，逻辑学家、数学家、哲学家。他开创的量词逻辑和对算术的逻辑分析对后人颇有影响。“一这个数是什么，或者，1这个符号意谓什么，对这个问题，人们通常得到的答案是：一个事物。此外，如果人们注意到，‘一这个数是一个事物’这个句子不是定义，因为它一边是定冠词，另

5、一边是不定冠词，如果人们还注意到，这个句子只是说1这个数属于事物，而没有说是哪个事物，那也许人们就不得不自己选择人们愿意称之为1的任何一个事物。但是，如果每个人都可以有权任意理解这个名词，那么关于1的同一个句子对于不同的人就会意谓不同的东西；这样的句子就不会有共同的内容。”一个数（自然数）是什么？或许有人提出，我们不用回答这个问题，因为我们不能定义“0”、“数”与“后继”，也不必假定我们知道这些概念的意义，不必令它们与通常的意义相符，我们可以让它们代表任何能适应皮亚诺公理的三个概念——它们将是变项，是我们对其做出某种假设而此外别无规定的概念。这种方略并不荒谬，它提供一种推广，对于

6、某种目的，确有价值。但是，这种方略未能为算术奠定一个适当的基础。第一，它不能使我们知道是否确有适合皮亚诺公理的项的集合；它甚至没有略略提示任何方法，以发现是否有这样的项的集合。第二，我们需要我们的数能计数通常的事物，也就是要求我们的数不仅具有某种形式的性质，还应具有一种确定的意义。试着给数1下个定义1这个数是所有含一个元素的集合所组成的类——这个类的集合共蕴一个特性（含有一个元素），且这一特性仅为这个类中的每个集合所具有。这里所谓“1的定义”使我们在逻辑上处于一种为难境界——正好可用于定义一个特定数目的此数之特性恰恰不能用于定义这个数！启发：单独地、孤立地去定义一个特定数目是行不

7、通的，这在逻辑上会把事情逼到“自己定义自己”的境界，因为我们的眼界没有超出此数的本类，即这个数的外延所界定的对象集合的范围。定义数该从何处着手？我们必须了解：每个数都有自己的特有属性；特有属性之所以“特有”，就在于它具有将该数本类的集合与另类的集合区分开的作用——本类的任何两个集合都“具有相等的元素个数”，而本类的和另类的集合之间则永不“具有相等的元素个数”。判断两个集合是否“具有相等的元素个数”比定义它们的“元素个数”是什么在逻辑上要简单得多。“具有相等的元素个数”我们称集合甲