数学精神与方法(第三讲)

《数学精神与方法(第三讲)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2006年公共选修课·通识教育数学精神与方法第三讲有限无限纵横谈（二）杜乃林副教授（武汉大学数学与统计学院）EMAIL：hanlin066@yahoo.com.cn§2.4ZFC系统的逻辑套路今日数学的基础是建立在集合论之上的，而集合论中出现的悖论使数学家们认为有必要做出关于集合的基本假设（即提出一组适当的集合论公理），以便彻底避免各式各样的、已发觉的和潜在的悖论或不相容现象的出现，以使数学的各种系统和方法能够建立在一个统一的牢固的逻辑基础之上。为此，数学家和逻辑学家提出并发展了多种集合论的形式化系统，其中

2、最有名的要数ZFC系统和GBN系统。在此，我们将向大家简介ZFC系统，它是由上节说到的ZF系统发展完善而成的。逻辑套路图ZFC系统有两方面内容：一是形式语言和逻辑演算，二是非逻辑公理。本节介绍第一方面的内容。关于ZFC系统ZFC系统是一种受到数学界偏爱的形式系统。“形式”这个词常常用于这样的场合，该处用到了一些符号，而这些符号的作用和属性又完全由一组给定的规则所确定。在一个形式系统中，符号没有任何意义；在处理它们时，我们必须注意不要在系统规定之外对它们的属性作任何假设。不过，形式符号可以加以解释，解释可以有

3、多种版本，但这些解释并不是系统的一部分。ZFC系统像其他形式系统一样，有两方面内容，一是它的形式语言和逻辑演算（包括逻辑公理和演绎规则），二是非逻辑公理（用于“规划”集合概念的特殊公理，又称集合论公理）。这两方面内容，前者体现出“逻辑数学化”倾向，而后者则体现出“数学逻辑化”倾向，如今两者已融合成一个有机的开放的整体。ZF系统的形式语言一ZF符号库二ZF公式库关于形式语言的注释ZF系统的逻辑演算一ZF的逻辑公理模式（附带等词公理模式关于ZF的逻辑公理模式的注释ZF系统的逻辑演算二ZF的逻辑演绎规则关于ZF的

4、逻辑逻辑演绎规则的注释ZF系统的逻辑证明现在ZF形式系统的纯逻辑要素——符号库、公式库、公理模式、演绎规则——都已建立起来，那么怎样运用这些逻辑要素去进行逻辑演绎（即证明推理）呢？形式证明的实例简单评注ZFC系统有两方面内容：一是它的形式语言和逻辑演算，二是它的非逻辑公理。以上所讲是第一方面内容的简介，目的在于帮助同学们了解数学系统的逻辑结构——这方面内容体现出ZFC系统的“逻辑套路”。尽管形式语言与逻辑演算的表述方式完全可以说是“数学化”的，但是就其本质而言，这方面的内容是没有多少数学价值的。ZFC系统的

5、数学价值将由其第二方面的内容——非逻辑公理——体现出来。那么这组非逻辑公理又说了些什么呢？且听下回分解。思考题1．试述ZF系统的MP规则和GEN规则。2．什么是ZF系统的形式证明？你觉得形式证明与你习惯的数学证明有哪些不同点？3．形式证明的价值在哪里？4．为什么说ZF系统的形式语言与逻辑演算体现不出它的数学价值？§2.5ZFC系统的数学价值逻辑主义有一个重大的不可否认的成就：它成功地根据合理的简单标准（完备性例外），把全部经典数学都归约为单一的形式系统。这一成就被形式主义者——绝大多数数学家——大加赞赏，尽

6、管他们并不像逻辑主义者那样认为“数学已被全部归约为逻辑”。数学家们认为：数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。对于ZFC系统，可以说现代数学建立在以其为基础的结构之上，它是否可以全部归约为逻辑呢？数学界和哲学界一般认为，答案是否定的，原因就在于它有一组公理（共九条）是非逻辑性的，我们称之为ZFC的非逻辑公理组。这组公理体现着数学家来自心灵的共同信条，这正是ZFC系统的数学价值之所在。ZFC-系统的非逻辑公理（ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的

7、元素。（外延公理）（ZF2）没有元素的集合存在。（空集公理）（ZF3）给出任何集合x和y，总存在着集合z，它的元素是x和y。（配对公理）（ZF4）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的元素的元素为元素。（并集公理）（ZF5）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的一切子集为元素。（幂集公理）（ZF6）若对于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得u={v

8、存在w∈z，使得A(w,v)成立}。（替换公理模式）（ZF7）存在一个集合x，它含有无穷多个元素。（

9、无穷公理）（ZF8）每个非空集合x含有一个元素y，y作为集合与x无公共元素。（基础公理）（AC）对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与x的每个成员恰有一个公共元素。（选择公理）关于ZF-系统的非逻辑公理的评注公理（ZF1）－（ZF8）和（AC）的建立归功于策墨罗和弗伦克尔，但所谓ZF-系统却是指非逻辑公理只取（ZF1）－（ZF8）的形式集合论系统。公理（ZF2）断言了空集的存在。可以证明空