数学精神与方法第一讲

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1、数学精神与方法第一讲从数学是什么谈起数学是什么——历史的理解数学是人类文化中历史最悠久的知识领域之一，是人类文明的一个重要组成部分。从远古曲指计数到借助高速电子计算机进行大型科学计算，从勾股定理的发现到抽象公理化系统的产生，数学经过了五千余年的发展演变历程。即使作为一门独立而理性的学科，她也有两千五百年的历史了。与其他学科领域相比，数学的发展具有很强的累积性。数学正是经过这种发展的长期累积过程才铸就出今天这般宏大的思想理论体系。数学常常被人们比喻成一棵茂密的大树，她包含着并且正在生长出越来越多分枝。按照美国《数学评论》（MathematicalReviews）

2、的分类，当前数学学科包含60多个二级学科，400多个三级学科，更细的分科难以统计。可以说，数学历经五千余年的累积演进，已经发展成为适用面最广泛、应用功能最强大的学科；而且，她还是人们最信得过的学科之一，被称作科学的基础。公元前6世纪以前，数学主要是关于“数”的研究，主要是计数、初等算术与算法，而几何则只能看作是应用算术。这一历史阶段，数学在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区得到率先发展。从公元前6世纪开始，数学在希腊蓬勃兴起并得到空前发展。希腊人主要对几何感兴趣，突出了对“形”的研究；他们当然也没有忽略对“数”的研究，但却将“数”放在了几何的形式下去考察（只有少

3、数例外，如丢番图）。从那时起，一直到17世纪，数学的研究对象是数与形——静止的、常量的数与形；而且，两千两百年间数学的研究对象没有本质的变化。数学于是成为了关于数与形的学问。亚里士多德（Aristotle,384—322BCE）“数学是量的科学。”亚里士多德，世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家。他把科学分为：（1）理论的科学(数学、自然科学和后来被称为形而上学的第一哲学)；（2）实践的科学(伦理学、政治学、经济学、战略学和修饰学)；（3）创造的科学，即诗学。笛卡尔（R.Descartes,1596-1650）“凡是以研究顺序（order）和度量（mea

4、sure）为目的的科学都与数学有关。”由笛卡尔、费马（P.deFermat,1601-1665）开创的解析几何学，为数学乃至整个科学树起了一座划时代的里程碑，数学从此由常量时代进入了变量时代——这标志着数学发展迈入了近代数学时期。笛卡尔是法国哲学家兼数学家，其解析几何的思想发表于1637年。微积分的创立无疑是17世纪数学最为重要的成就，也是科学发展史上最重大的事件之一。由牛顿（IsaacNewton,1642-1727）和莱布尼兹（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）所制定的微积分，本质上就是关于运动与变化的数学，它使科学家们能

5、够以数学为工具去深入研究行星运动、机械运动、流体运动以及动植物生长等等。因此，数学在牛顿和莱布尼兹生活的时代已经成为研究数与形、运动与变化的学问。数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。弗里德里希·恩格斯(FriedrichEngels，1821-1895)然而，就在恩格斯所在的19世纪，数学家不仅仅研究现实世界中的数学对象，而且开始关注并研究数学自身的大量基础性问题，而这类问题——以数学自身的协调、完备以及模式化为目的——只是出于使数学自身达到完美与统一的需要。从19世纪后期开始，数学成为了研究数与形、运动与变化以及数学自身问题的学问，而且数学理论的论

6、述呈现以公理化倾向为特征的规范形式。从此，数学发展进入了所谓现代数学阶段。这种对数学自身问题的研究，实现了数与形的统一，促成了数学与逻辑的融合，开辟了全新而广阔的数学发展空间和应用领域，从根本上刷新了人类的数学观念。康托尔（G.Cantor1845---1918）“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说，它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。”康托尔是德国数学家，他关于集合论和拓扑学的论著使自己成为其思想对当代数学发生最大影响的人物之一。罗素（B.Russell,1872---1970）“数

7、学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”罗素，哲学家、数学家，英国人。他提出的罗素悖论撼动了整个数学理论的基础，引发了第三次数学危机。20世纪初，英国哲学家兼数学家罗素（B.Russell,1872-1970）给数学下了如下一个定义：“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否成立，也不管使此命题成立的那些事物究竟是什么，……。只要我们的假定是关于一般事物的，而不是关于某些特殊事物的，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可以定义

8、为这样一门学科，我们永远不知道其中所说