微积分拾零：也说极限(随便说说).docx

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1、微积分拾零：也说极限（随便说说） v1.2消化微积分，牛人们花了100年。微积分难理解。我对它也是雾里看花。关键是实数系。极限这个运算并不是凭空人造出来的，它只不过是将实数系的一些性质显现出来，manifest，正象群也不是人造出来的，也不过是将对称这个隐藏的普遍现象显现出来。极限直观上是个动点的过程，和距离有关。能无限接近，实际上就是（无限）稠密的体现。而要“看见”这个，似乎要将点抠掉（x->x0）。Dirichlet函数将无理数有理数对应不同的数，按经典定义它是不连续的，但实际上它还是能在某种程度上某种意义上“连续”的，这就是勒贝格

2、Henri Lebesgue 的贡献。这是因为有理数系/无理数系都是稠密的。求极限把点抠掉，因为实数系本身也是“连续的”（有序稠密的无穷集合）。它不是可数的，那是因为有可恶的无理数在，但好在有理数是稠密的。每个无理数或有理数附近都有有理数，所以那些个杂质（无理数）也无关紧要。实数系这时可以换作有理数系。可数意味着它能有一一对应的关系，能看作函数。要让函数获得实数系的性质，最简单的办法就是找个数列（自然数函数）。通过收敛数列，就能把实数系制造出来。这是很重要的思想。在实数集上求极限，显然只要把实数的连续还原成看得见的稠密。这个看得见的稠密

3、，直观上是附近动点的无限接近。用数列的办法，也是最经典的，就是附近要有任意个收敛数列。求极限的结果只能是个数，因为它的土壤是实数系。求极限就是把要验证的对象和实数系比一比，两者长得像不象。连续是说，函数值只能来回摆，不能跳。这其实也是实数系的性质（遍历）。所以，说来说去，实数系就是一把尺。英文的measure就是度量的意思。在勒贝格的世界里Dirichlet函数是“好的”，因为尽管比较怪，但还是点对应点。只要点对点，那还是好的函数，只有那些点集对点之类的才是坏的函数，要把他们剔除出去。打破沙锅问到底，为什么要抠掉，因为稠密这个性质只能用

4、距离这样的概念衡量。而这把量距离的尺当然有刻度，可这个刻度还不能在实数轴上，实数要靠它量，怎么可能上面有刻度？它只在人脑里。所以，实质上是把实数和尺上的刻度位置比。这里要分清抽象和具体。每个函数的定义域是具体的，它是一个实例，可以叫实轴或区间。这个具体的实例是抽象的实数系的具体化(或部分具体化）。所以，求极限x->x0，第一个x来自具体的定义域实例，x0来自抽象的实数系（一把尺）。这把尺虽然已经是抽象的，但还有比它更抽象的。这把尺还要用另一把“尺”去量。或者说，还要用另一些抽象概念去定义尺这个概念。明白了这一点，就知道了那个->其实不像

5、一般书上说的是接近的意思，而是对照，量一量比一比的意思。一个数列的极限是a，实质上是说在实数系的a处附近存在这个收敛数列。或者说这个数列是实数系a处的构造数列。因此，这算是个函数，数列对应点。说实数展开成数列或级数（算是数列的数列），实际上是说两者等价。等价不是等于，等于是说两个东西是同一个事物，等价有个context（上下文），等价是说在这个context中两个东西是相同的。数列和数怎么说都是两种不同的数学对象，但在实数系上考察，就是等价的，因为两者都是实数系的构造元。这是一个很伟大的发现。微积分的大厦建筑在极限、连续的基础上，也就是

6、建筑在实数系上。当然微积分还需要别的思想，这就是线量化思想。这个想法古希腊和我国古代也有。多项式x^2是简单的。这里的平方可以理解成二维的空间。x^2是这个二维空间的一个点。平方是x乘x，这个二维可以理解成笛卡尔积YXY。空间是用笛卡尔积定义的。平方不过是个二元的序偶。这是因为我们只考虑它的性质，而不考虑它的运算结果。这里就有同维不同维的问题。x^3比x^2高维。多项式不是线性的，因为它们的运算会出现不在同维的情况。线性的运算只能在同维中发生。数乘是线性的，一般的乘法不是。多项式常说的阶用其中的最高维定义的。我们知道多项式的导数要降一阶

7、。这是很奇怪的。微积分最基本的思想就是用直线段去逼近（或者叫拟合/代替？）曲线段，用一个线量去求非线量。结果它降一阶。Δx是x的一次函数，而且意义上是距离。这个认识特别重要。除法是乘法的逆运算，所以空间维数也要变而且对多项式是反着变。三角函数求导还是三角函数。也很奇怪。说明还有另外一种“空间”，其中的维数不是做加减法，而是循环（想想化学中那个天才的苯环）。我本人一直将数学当化学来看。我就发现还真能对上号。来看虚数单位i,i的幂是循环的。这个认识很普通，但很重要。这大概就是subtle。三角函数和i密切相关。x轴对应cos，y轴对应sin

8、。如果要定义三角函数的空间，可以用i。我们知道集合中的元素最好要有序。如果把函数看成元素，也就是空间的点，我们最好函数像自然数那样也能排列。多项式能这样排列是显然的。但三角就比较特别，它可以看作是单位圆上的