微积分 数列的极限

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1、第一章数列极限与数项级数第一节数列的极限•数列的定义•数列的极限•数列极限的性质•收敛数列的四则运算•收敛数列的判别法•子数列的收敛性一、数列的定义正六边形的面积A1正十二边形的面积A2RLLLLn-1A正6´2形的面积nA,A,A,L,A,LS123nn+1n-11,-1,1,L,(-1),L;{(-1)}n-1n-114n+(-1)n+(-1)2,,,L,,L;{}23nn3,3+3,L,3+3+L+3,L注1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一意：动点在数轴上依次取x1,x2,L,xn,L.x3x1x2x4xn2.数列是整标函数xn=f(n).3.上述数列有

2、何特点？极限概念引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽播放播放概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与

3、圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n播放播放二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{

4、1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势

5、.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n二、数列的极限n-1(-1)观察数列{1+}当n®¥时的变化趋势.n问题:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:n-1(-1)当n无限增大时,x=1+无限接近于1.nn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.n-111Qx-1=(-1)=nnn1111给定,由<,只要n>100时,有x-1<,n100n10010011给定,只要n>1000时,有xn-1<,1000100011给定,只要n>10000时,有x-1<,n10000

6、100001给定e>0,只要n>N(=[])时,有x-1N时的一切xn,不

7、xn-a

8、N描述n→¥3.N和小正数e有关系e-N定义:limx=aÛ"ee>0,$N>0,"n>N,s.t..xa-

9、当n>N时,所有的点x都落在(a-e,a+e)内,n只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n-1n+(-1)例1证明lim=1.n®¥nn-1n+(-1)1证xn-1=-1=nn11任给e>0,要x-1,nne1所以,取N=[],则当n>N时,en-1n-1n+(-1)n+(-1)就有-10,对于一切自然数n,x-C=C-C=0

10、列极限存在