小四数学第10讲：环形跑道（学生版）-劲松张文静.docx

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1、第10讲环形跑道图形推理1.环形跑道——追及问题。同时同地同向而行，甲、乙双方在同一环形跑道，以不同的速度，乙何时能够追上甲。（甲的速度<乙的速度）等量关系：追上1次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+1个环形跑道的长度=乙的路程。追上n次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+n个环形跑道的长度=乙的路程。2.环形跑道——相遇问题。同时同地相向而行，甲、乙双方在同一环形跑道，以一定的速度，甲、乙双方何时相遇。（甲、乙速度可以相同，也可以不同）等量关系：相遇1次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+乙的路程=1个环形跑道的长度。相遇n次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+乙的路程=n个

2、环形跑道的长度。3.经典公式。路程＝速度×时间    同时同地出发：反向 每相遇一次，合走一圈 路程和＝速度和×相遇时间      同向 每追上一次，多走一圈路程差＝速度差×追及时间第一，环形跑道问题中，对速度、时间、路程之间关系的处理；第二，多次追及、相遇问题的处理；第三，不同地点出发问题的处理；第四，利用线段图加强对问题的理解。在《四驱兄弟》中，星马烈和星马豪两兄弟分别从土屋博士那里得到一辆极光1号赛车，和一辆极光2号赛车，极光1号赛车的速度是20米/秒，极光2号赛车的速度是18米/秒。他们准备在一个长度为1000米的环形跑道上进行比赛，他们同时同地出发，极光1号多久之后能够

3、再次遇上极光2号？例1.一个圆形跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行，黄英每分钟走66米，欣欣每分钟走59米，经过几分钟才能相遇？考点：环形跑道相遇问题分析：此题属于环形跑道问题中的相遇问题，同时同地背向而行，也可以理解为她们二人在一条长为500米的线段两端，相向而行，用路程除以她们的速度之和就是所需要的时间。解答：500÷（66+59）=4（秒）点评：考察环形跑道的相遇问题，关键是知道两个学生的时间是一致的例2.小张和小玉各以一定的速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小玉的速度是200米/分。（1）小张和小玉同时同地出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速

4、度是多少米/分？（2）小张和小玉同时同地出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能再次遇上小玉？考点：环形跑道的多次相遇问题分析：（1）小张和小玉同时同地，反向跑步，用路程除以时间，就是他们二人的速度之和，再减去小玉的速度就是小张的速度。（2）根据第（1）题，可以知道小张的速度，通过计算我们可以发现，小张的速度比小玉快，如果小张想再次和小玉相遇，那么就需要比小玉多跑一圈，因此只要用小张减去小玉的速度，然后去除一圈的长度（500米），就可以求出所需要的时间，再用这个时间去乘小张的速度就可以求出小张所跑的路程，用路程除以一圈的长度就可以就求出小张跑了几圈。解答：（1）500÷1=500（

5、米/分），500-200=300（米/分）；（2）500÷（300-200）=5（分），300×5÷500=3（圈）点评：此题的理解难度较大，要正确理解再次相遇隐含的数学条件例3.黑白两只小猫在周长为400米的湖边赛跑，黑猫的速度是9米/秒，白猫的速度是11米/秒，若两只小猫同时同地出发，背向而行。（1）多少秒后两只小猫第一次相遇？（2）如果他们继续不停的跑下去，2分钟内他们一共相遇几次？考点：环形跑道的多次相遇问题分析：（1）用路程÷它们的速度之和，就是它们第一次相遇的时间；（2）想知道它们2分钟内相遇几次，只需要看它们2分钟内共跑了几圈就可以了。也可以用2分钟除以第一次相遇所

6、用的时间，就可以知道它们共相遇几次。解答：（1）400÷（11+9）=20（秒）；（2）2分=120秒，120÷20=6，它们共相遇6次。点评：考察环形跑道的相遇问题例4.小明、小雅在环形跑道上跑步 ，两人同时同地出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇？考点：相遇问题和追及问题的结合分析：小明和小雅的速度已知，又知道他们反向而行相遇的时间，根据公式，周长=他们的速度和×时间，可以求出跑道的周长。知道跑道的周长，根据公式，用周长除以他们的速度差，即可求出他们相遇的时间。解答：（3+4）×45=315（米），315÷（4-3

7、）=315（秒）。点评：解决问题的关键是要求出跑道的周长例5.在300米的环形跑道上，小刚和小胖同时同地起跑，如果同向而跑，2分30秒后小刚第一次从后面追上小胖，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？考点：相遇问题和追及问题的结合分析：同时同地同向跑，2分30秒后小刚第一次从后面追上小胖，那么可以求出他们的速度差，背向跑半分钟后相遇，则可以求出他们的速度和，用速度和减去速度差，便可以得到2个小刚的速度，再除以2就是小刚的速度，用他们的速度和减去小刚的速度，就是小胖的速度