《创新设计》2014届高考数学人教a版(理)一轮复习【配套word版文档】：第十二篇第3讲数学归纳法

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1、---第3讲数学归纳法A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)111127*1．用数学归纳法证明不等式1＋2＋4＋⋯＋2n－1＞64(n∈N)成立，其初始值至少应取()．A．7B．8C．9D．1011111－n12解析左边＝1＋2＋4＋⋯＋2n－1＝1＝2－2n－1，代入验证可知n的最小值1－2是8.答案B2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1

2、命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案D111111113．用数学归纳法证明1－2＋3－4＋⋯＋－－2n＝＋＋＋＋⋯＋2n，则2n1n1n2当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．11A.2k＋2B．－2k＋2--WORD格式--可编辑------第1页共7页--WORD格式--可编辑------1111C.2k＋1－2k＋2D.2k＋1＋2k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－1＋1－1＋⋯＋1－1，当n＝k＋1时，2342k－12k111111－1左侧＝1－2＋3－4＋⋯＋2k－－2

3、k＋2k＋1＋.12k2答案C4．对于不等式n2＋n

4、1＋⋯＋1＞13的过程中，由n＝k推导5n＋1n＋2n＋n24n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析不等式的左边增加的式子是1＋1－1＝1，故2k＋12k＋2k＋12k＋12k＋21填2k＋12k＋2.答案12k＋12k＋26．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．--WORD格式--可编辑------第2页共7页--WORD格式--可编辑------111121133114641⋯解析所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋⋯＋2n－1＝2n－1，除掉1的和为2n－1－(2n－1)＝2n－2n

5、.答案2n－2n三、解答题(共25分)．分已知n＝1＋1＋1＋⋯＋1，∈*，求证：2n＋n≥，∈*．7(12)S23n(n>1nN)S>12(n2nN)111252证明(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋2＋3＋4＝12>1＋2，即n＝2时命题成立；假设当＝≥，∈*时命题成立，即2k＝111k，(2)N)1＋＋＋⋯＋2>1＋nk(k2kS232k则当n＝k＋111111k＋k1＋时，S2k＋1＝1＋＋＋⋯＋k＋k＋⋯＋k＋1＋2322＋12>122＋111k2kk1k＋12k＋2＋⋯＋2k＋1>1＋2＋2k＋2k＝1＋2＋2＝1＋2，故当n＝k＋1时，命题成立．*n由(1)和(2)可知，

6、对n≥2，n∈N.不等式S2n>1＋2都成立．8．(13分)已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋⋯＋bnan.(1)若a1＋a2＋a3＋⋯＋a12＝64，求r的值；(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．(1)解a1＋a2＋a3＋⋯＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.∵48＋4r＝64，∴r＝4.--WORD格式--可编辑------第3页共7页--WORD格式-

7、-可编辑------(2)证明用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4