高中数学竞赛测试测试

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1、智浪教育—普惠英才文库高中数学竞赛测试测试1.设为实数，。已知对任意实数x,有恒成立，求的最大值，及取得最大值的所有数组（）解：取，则，取，则，，则如果，则，。设，整理得，当时，，令，，当时，,令，，.2设序列{}、{}由，，确定，求证;对任意正整数有。证明：，令，则（）。，.又单调递增，，时，，且时对一切都有。智浪教育—普惠英才文库3.如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.(1992年全国初中数学联合竞赛二试第2题)证明：4.地面上有10只小鸟在啄食，其中任何5只鸟中至少有4只在一个圆周上

2、，问有鸟最多的一个圆上至少有几只鸟？解：用平面上10个点来表示10只小鸟。如果这10个点中的任何4点都共圆。则这10个全在同一个圆上。以下设10个点中有4个点，不妨设A、B、C、D不共圆。这时，过这4点的任何不共线的3点都可以作一个圆周。最多可作出4个不同的圆周，最少也可作出3个不同的圆周（注意任5点中至少有4点共圆，即任5点中之多3点共线）对这两种情况，下面的论证完全一致。故只就4个不同的圆周的情况加以证明：从其余6个点P1、P2、P3、P4、P5、P6中任取一点Pi（），与A、B、C、D组成一个5点组

3、。按已知条件其中必有4点共圆，所以Pi必在上述圆之一上。由于点Pi的任意性，知这其余6点中的每一点都必须落在这4个圆之一上，由抽屉原理知必有其中两个在同一个圆上，即这10个点必有5点共圆.现设、、、、在同一个圆上，但P、Q两点不在圆，这里（），P、Q都取自这10个点.下面证明P、Q两点都不在，必导致矛盾。（1）考察5点组：、、、P、Q，由题意其中必有4点共圆，记为圆，显然，因而、、不能全在，否则与重合。不妨设、、P、Q在圆智浪教育—普惠英才文库上，于是、、不在圆上.(2)考察5点组：、、、P、Q，由题意，

4、其中其中必有4点共圆，记为圆,显然,、、P、Q共圆于,由于、、不在圆，可见（1）考察5点组：、、、P、Q由题意，其中其中必有4点共圆，记为圆,显然，因而、、不能全在，故P、Q及、中至少有一个在上，如果，则=，但、，而、之一属于，矛盾如果,则=,但、，故也不能属于，这不不可能。综上圆上至少有9个点，知鸟最多的一个圆上至少有9只鸟.