2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10讲导数的概念及运算讲义理（含解析）

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1、第10讲　导数的概念及运算[考纲解读]　1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解．[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2020年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题

2、中的一问进行考查，试题难度属中低档.1．变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数y＝f(x)，＝叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率物理意义若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则就是该质点在[x1，x2]上的平均速度(2)导数2．导数的运算1．概念辨析(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的

3、切线相同．(　　)(4)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为(　　)①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(e1－x)′＝e1－x；④′＝x.A．1B．2C．3D．4答案　A解析　①中，(3x)′＝3xln3，错误；②中，(log2x)′＝，正确；③中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，′＝＝－，错误，因此求导运算正确的个数为1.(2)有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间

4、，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　s′＝′＝2t－，当t＝2时，s′＝2×2－＝，所以该机器人在t＝2时的瞬时速度为.(3)函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)A．10B．5C．－1D．－答案　D解析　∵f(x)＝x3＋4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4，∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－，切线在x轴上的截距为－.(4)曲线y＝在x＝处的切线方程为___

5、_____．答案　y＝－x＋解析　因为y′＝′＝，当x＝时，y′＝＝－，所以曲线y＝在x＝处的切线方程为y－＝－，整理得y＝－x＋.题型　导数的运算1．(2019·湖南十二校联考)若函数f(x)＝lnx－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.答案　8解析　因为f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，所以f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，解得f′(－1)＝－2，所以f′(1)＝1＋4＋3＝8.2．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x－sin2xcos2x；(3)y＝excosx；(4)y＝.

6、解　(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝18x2＋4x－3.(2)因为y＝x－sin2xcos2x，所以y＝x－sin4x，所以y′＝1－cos4x×4＝1－2cos4x.(3)y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．(4)y′＝′＝＝＝＝.1．谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：

7、观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．3．求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln(2x＋1)的求导．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求下列函数的导数：(1)y＝lnx＋；(2)y＝；(3)y＝(x2＋2x－1)e2－x.解　(1)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(2)y′＝′＝

8、＝.(3)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x)＝(3－x2)