小议发散思维在数学教学中的应用

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1、小议发散思维在数学教学中的应用龙庆华思维是人类特有的一种脑力活动，孔子说“学而不思则罔”。“罔”即迷惑而无所得。意思是说，只读书而不思考，就等于没有读书。哲学家哥德也曾风趣地说：“经验丰富的人读书用两只眼睛。一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸背面的话。”“纸背面的话”就是指思维，指要思要想，要多思多想。这些至理名言深刻地提示了思维与学习的辩证关系。发散思维，即求异思维。它是对已知信息进行多方向，多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换

2、或改造进行扩散派生以形成各种新信息，它具有多向性，变通性，逆向性、开放性、独特性等，即思考问题时注重多思路、多方案，解决问题时，注重多途经，它对同一个问题，从不同的方向，不同的侧面，不同的层次，横向拓展，逆向深入，采用探索、转化、变换、迁移、构造、变形、组合、分解等手法，开启学生心扉，激发学生潜能，提高学生素质，这对造就创造性人才至关重要。发散思维包含横向思维、逆向思维及多向思维。一、横向思维它是从知识之间的横向相似出发，即从数学的不同分支：代数、几何、三角或分析等角度去考察对象，从有关规律出发去模拟，仿造或分析问题的思维方式。它利用相似性，

3、把不同知识与方法交叉起来，从横向的联系中得到暗示或启发，从而具有发现知识或方法的开放性，以及解决问题的灵活性。例1正数a、b、c、x、y、z满足a+x=b+y=c+z=k求证：ay+bz+cx

4、路，利用面积知识轻松的求解了。acxS2S1S3CzAybB例2．求方程8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1在(0、1)内的实数根分析：这个方程的右边为1，习惯的想法是展开后通过因式分解降次。由于展开后是一个七次方程，要用这个方法求解是相当复杂的。但若细心观察原方程左边乘积中每项的结构，则易知2x2-1相似于2cos2t-1=cos2t.因此用三角代换进行化简就是一个正确的方向(对于一般的七次方程是不能用初等方法求解的，而题给方程如能解答就必定属于特殊类型)。这就是从侧向思考打开的解题思路。令x=cost,t∈(0,)原方程可化为：进

5、而化为sin8t=sint(sint≠0)故或即或由约束条件可推知仅知k=0,1时，满足t∈(0,),又sint≠0.最后就得原方程有三个实根：，，从以上两例可看出，横向思维需要有“似曾相识”的感觉，要以一定的数学知识和解题经验为基础，知道一些基本问题的解法。只有如此，对于一个陌生的问题，进行过深思熟虑的分析，采取迁移、转化、构造等手法，才有可能联想到一个熟悉的且与所给问题相类似的简易问题，并根据这个简易问题的解法来揣测解决所给问题采取的途径，最终使问题获解。在这一系列过程中，学生的零散知识得到重组，积极性充分调动起来，分析解决问题的能力得到

6、提高，活跃了思维，磨练了意志。二、逆向思维它是从已有的习惯思路的反向去思考和分析问题，表现为逆用定义、定理、公式、法则；逆向进行推理，即顺推繁杂时考虑逆求；反向进行证明，即直接解决较困难时考虑间接解决，从反方向形成新结论，即探讨可能性或合理性存在逻辑困难时考虑探讨新的可能性等。逆向思维反映了思维过程的间断性，突变性和反联结性，它是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想发现新知识的重要思维方式。例3、已知am=6、an=2求a2m+n的值分析：从条件直接求m、n是困难的，但逆用幂的性质则可轻松求解。A2m+n=(am)2•an=62×2=7

7、2例4、已知实数P、q满足P3+q3=2试确定p+q的值范围分析：如果从条件出发进行顺推，则分解 p3+q3后遇有pq就不易处理。但若逆序进行运算，即通过设p+q=t进行逆求，则由t3=(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pqt可得：pq=于是由韦达定理之逆可知p、q是方程x2-tx+=0的两个实根，故判别式Δ＝t2-4×≥0,即≥0t(8-t3)≥0,即（t≠0）∴0＜t≤2于是p+q的取值范围为（0,2］。例题5如果凸四边形ABCD的两组对边的平方和相等。试证：ABCD的对角线互相垂直分析：此题从条件及结论出发都不易推得有用

8、结果，若从结论的反面着手，就相当于增添了新的假设，由此出发就可不局限于勾股定理，而用它的推广即余弦定理导出新的结果。为此，可考虑用反证法证明：如图，设AC和BD相交