2020版高考数学一轮复习第5章数列第4讲数列求和讲义理（含解析）

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1、第4讲　数列求和[考纲解读]　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．(重点)2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等．预测2020年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合．此类问题一般以解答题为主，以中档题型为主.1．基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列求和公式：Sn＝2．非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；

2、(4)错位相减法；(5)裂项相消法．常见的裂项公式：①＝；②＝；③＝；④＝(－)．3．常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；(3)12＋22＋32＋…＋n2＝；(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.1．概念辨析(1)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝.(　　)(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同

3、时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n>1，n∈N*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．小题热身(1)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)A．1B.C.D.答案　B解析　∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.(2)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－

4、答案　A解析　该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.(3)数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．200B．－200C．400D．－400答案　B解析　设bn＝4n－3，则{bn}是公差为4的等差数列，an＝(－1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋(b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.(4)数列{an}的

5、通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2018等于(　　)A．－1010B．2018C．505D．1010答案　A解析　易知a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a2017＝0，a2018＝2018×cos＝－2018，∴S2018＝S2016＋a2018＝1008－2018＝－1010.

6、故选A.题型　分组转化法求和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2018·信阳模拟)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)A．1121B．1122C．1123D．1124答案　C解析　由题意知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.2．(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求

7、数列{bn}的前2n项和．解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.结论

8、探究　在举例说明2条件下，求数列{bn}的前n项和Tn.解　由举例说明2知bn＝2n＋(－1)nn.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；当n为奇数时