高一数学培优教材共六讲

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1、高高高一年级数学培优教材第一讲函数的性质一、基本性质：1.函数图像的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。（3）若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。（4）互对称知识：函数的图像关于直线对称。2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定

2、义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数的图像和单调区间。3．函数的周期性对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若是的周期，那么也是它的周期。（2）若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。（3）若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。（4）若函数满足，则是周期为的函数。4．高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯

3、函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：（1）对任意（2）对任意，函数的值域为（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4）若，后一个式子表明是周期为1的函数。（5）若（6）若二、综合应用例1：设是R上的奇函数，求的值。例2：设都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值为5，求上的最小值。例3：已知______________例4：设均为实数，试求当变化时，函数的最小值。例5：解方程：（1）（2）例6：已知定义在R上的函数满足，当，；（1）求证：为奇函数；（2）求在上的最值；（3）当不

4、等式恒成立，求实数的取值范围。例7：证明：对于一切大于1的自然数，恒有例8：设是定义在Z上的一个实值函数，满足，求证：是周期为4的周期函数。例9：给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）例10：求方程的实根个数。三、强化训练：1.已知（a、b为实数），且，求的值。2.若方程有唯一解，求a的所有取值。3.已知函数定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有。若，求的值。4.函数定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式设的一个根是，记中的根的个数是N，求N的最小值。5.若函数的图像关于直线对称，且关于

5、点对称，求证是周期函数。6.求数列的最小项，其中7.已知的解集为，解不等式8.设是定义在上的增函数，对任意，满足。（1）求证：①当（2）若，解不等式9.已知，求满足的的值。10.求和：参考答案：例1：周期为4，例2：记，则为奇函数。在上的最小值为-1.例3：在上为增函数，例4：，换元后研究函数的单调性当时；当时例5：（1）构造，利用单调性得：（1）构造递增函数，利用解得：例6：（2）（3）例7：构造，证明是递增数列，故例8：令得例9：④例10：（1）当时，代入原方程解得（2）当时（矛盾）（3）当时（4）当时强化训练：1．

6、32．3．4．4015．略6．最小项为7．8．9．时；时10．第二讲二次函数一、基础知识：1．二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：，顶点为（3）两根式：（4）三点式：2．二次函数的图像和性质（1）的图像是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴方程为，开口与有关。（2）单调性：当时，在上为减函数，在上为增函数；时相反。（3）奇偶性：当时，为偶函数；若对恒成立，则为的对称轴。（4）最值：当时，的最值为，当时，的最值可从中选取；当时，的最值可从中选取。常依轴与区间的位置分类讨论。3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程的

7、区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。二、综合应用：例1：已知二次函数的图像经过三点，求的解析式。例2：已知，若时，恒成立，求的取值范围。例3：集合，，若，求实数的取值范围。例4：设满足条件：（1）当时，，（2）当，（3）在R上的最小值为0。①求的解析式；②求最大的使得存在，只要就有。例5：求实数的取值范围，使得对于任意实数和任意实数，恒有。例6：已知函数，方程的两根是，又若，试比较的大小。例7：设,方程的两个根满足，（1）当时，证明；（2）设的图像关于直线对称，证

8、明一、强化训练：1．二次函数满足，且又两个实根，则等于（）A.0B3C.6D.122．已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（）3．已知函数上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（）4．设函数，若则的值的符号是________________5．已知对于一切实数都成立，则______6．已知的值域是R，则实数