高一年段培优数学教材（1）

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1、福鼎一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第一讲函数的性质一、基本性质：1.函数图像的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。（3）若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。（4）互对称知识：函数的图像关于直线对称。2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法

2、、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数的图像和单调区间。3．函数的周期性对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若是的周期，那么也是它的周期。（2）若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。（3）若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。（4）若函数满足，则是周期为的函数。4．高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数

3、部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：（1）对任意（2）对任意，函数的值域为（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4）若，后一个式子表明是周期为1的函数。（5）若（6）若二、综合应用例1：设是R上的奇函数，求的值。例2：设都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值为5，求上的最小值。例3：已知______________例4：设均为实数，试求当变化时，函数的最小值。例5：解方程：（1）（2）例6：已知定义在R上的函数满足，当，；（1）求证：为奇函数；（2）求在上的最值；（3）当不等式恒成立，求实数的取值范围。例7：证明：对于一

4、切大于1的自然数，恒有例8：设是定义在Z上的一个实值函数，满足，求证：是周期为4的周期函数。例9：给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）例10：求方程的实根个数。三、强化训练：1.已知（a、b为实数），且，求的值。2.若方程有唯一解，求a的所有取值。3.已知函数定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有。若，求的值。4.函数定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式设的一个根是，记中的根的个数是N，求N的最小值。5.若函数的图像关于直线对称，且关于点对称，求证是周期函数。6.求数列的最小项，其中7.已知的解集为，解不

5、等式8.设是定义在上的增函数，对任意，满足。（1）求证：①当（2）若，解不等式9.已知，求满足的的值。10.求和：参考答案：例1：周期为4，例2：记，则为奇函数。在上的最小值为-1.例3：在上为增函数，例4：，换元后研究函数的单调性当时；当时例5：（1）构造，利用单调性得：（1）构造递增函数，利用解得：例6：（2）（3）例7：构造，证明是递增数列，故例8：令得例9：④例10：（1）当时，代入原方程解得（2）当时（矛盾）（3）当时（4）当时强化训练：1．32．3．4．4015．略6．最小项为7．8．9．时；时10．