2018_2019学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词1.3.1量词讲义（含解析）苏教版

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1、1．3.1　量　词全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数x，都有x>5.(2)对任意一个x(x∈Z)，3x＋1是整数．问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数x，必定有x>5；(2)对所有的整数x,3x＋1必定是整数．全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示∀x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式∀x∈M，p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数x，使3x＋1＝7.(2)至少有一个x∈Z，使x能被3和4整除．问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)表示有一个实数x，满足3x＋1＝7；(2)存在一个整数Z，

2、满足能被3和4整除．存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“∃x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式∃x∈M，p(x)1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．全称命题、存在性命题的判断[例1]　判断下列命题是全

3、称命题还是存在性命题．(1)若a>0且a≠1，则对任意x，ax>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1

4、sin(x＋T)

5、＝

6、sinx

7、；(4)存在实数x，使得x2＋1<0.[思路点拨]　分析每一个命题中的量词，再判断．[精解详析]　(1)、(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)、(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．[一点通]　判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤：(1)判断此语句是否为命题；(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词；(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．

8、1．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是存在性命题．答案：①②③　④2．判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∀x∈{x

9、x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x∈{x

10、x∈Z}，lo

11、g2x＞0；(5)负数的平方是正数；(6)有的实数是无限不循环小数；(7)每个二次函数的图像都与x轴相交．解：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．(3)中含有全称量词符号“∀”，所以是全称命题．(4)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．(7)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题.全称命题、存在性命题的表述[例2]　判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用量词符号“∀”，“∃”表述：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理

12、数x，满足x2＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[精解详析]　(1)全称命题：∀x∈{x

13、x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)存在性命题：∃x∈Q，x2＝3.(3)全称命题：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[一点通]　准确理解全称命题和存在性命题的概念，熟练应用常用的全称量词和存在量词．任何一个全称命题和存在性命题都有多种表述方式，但用符号“∀”“∃”表述却很规范，就是一般式．全称命题：∀x∈M，p(x)；存在性命题：∃x∈M，p(x)．3．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示：(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3

14、)对于某些实数x，有2x＋1＞0；(4)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.解：(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)∃x∈R，有2x＋1＞0.(4)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.全称命题和存在性命题真假的判断[例3]　判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假：(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(