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时间:2019-04-25
《2018_2019学年高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系讲义(含解析)新人教a版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一平面直角坐标系1.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现数与形的结合.(2)坐标法解决几何问题的三步骤:第一步:建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算解决代数问题;第三步:把代数运算结果翻译成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义:设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x
2、,y)对应到点P′(x′,y′),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.用坐标法解决几何问题[例1] 在平行四边形ABCD中,求证:
3、AC
4、2+
5、BD
6、2=2(
7、AB
8、2+
9、AD
10、2).[思路点拨] 首先在平行四边形ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D的坐标,再依据两点间的距离公式即可证得结论.[证明] 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设B(a,0),C(b,c),则AC的中点E的坐标为,由对称性知D(b-a,c),所以
11、AB
12、2=a2,
13、AD
14、2=(b-a)2+c2,
15、AC
16、2=b2+c2,
17、BD
18、2=(b-2a)2
19、+c2,
20、AC
21、2+
22、BD
23、2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),
24、AB
25、2+
26、AD
27、2=2a2+b2+c2-2ab,所以
28、AC
29、2+
30、BD
31、2=2(
32、AB
33、2+
34、AD
35、2).根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心,选对称中心为原点;(2)如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.1.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证:
36、AC
37、=
38、BD
39、.证明:取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设A(-a,h),B(-b,0),则D(a,h),C(b,0
40、).∴
41、AC
42、=,
43、BD
44、=.∴
45、AC
46、=
47、BD
48、,即等腰梯形ABCD中,
49、AC
50、=
51、BD
52、.2.在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且
53、AB
54、2=
55、AD
56、2+
57、BD
58、·
59、DC
60、,求证:△ABC为等腰三角形.证明:作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为
61、AB
62、2=
63、AD
64、2+
65、BD
66、·
67、DC
68、,所以由距离公式得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).因为d-b≠0,所以-b-d=c-d,即
69、-b=c,所以O为线段BC的中点.又因为OA⊥BC,所以
70、AB
71、=
72、AC
73、.所以△ABC为等腰三角形.用平面直角坐标系解决实际问题[例2] 已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2km,现准备在荒漠上围垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少;(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A,且与AB成30°的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问暂不加固的部分有多长.[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围墙总长为8km,得
74、CA
75、+
76、
77、CB
78、=4>
79、AB
80、=2,由椭圆的定义知,点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆(去除落在直线AB上的两点).以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示),则点C的轨迹方程为+=1(y≠0).易知点D也在此椭圆上,要使平行四边形ACBD的面积最大,则C,D为此椭圆短轴的端点,此时,面积S=×2×2=2km2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆+=1(y≠0)内,故暂不需要加固水沟的长就是直线l:y=(x+1)被椭圆截得的弦长,如图所示.由得13x2+8x-32=0,则x1+x2=-,x1x2=-,那么弦长L=
81、x1-x2
82、=
83、·=,故暂不加固的部分长为km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.(2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程.(3)运算——通过运算,得到所需要的结果.3.已知B村位于A村的正西方向1km处,原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l,但在A村的西北方向400m处,发现一古代
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