高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案含解析

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1、一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P

2、(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．　　　　　　　　　　　　　求轨迹方程问题　设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足

3、DM

4、＝m

5、DA

6、(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．　设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求解．　如图，设M

7、(x，y)，A(x0，y0)，则由

8、DM

9、＝m

10、DA

11、(m>0，且m≠1)，可得x＝x0，

12、y

13、＝m

14、y0

15、，所以x0＝x，

16、y0

17、＝

18、y

19、.　　　　　　　①因为A点在单位圆上运动，所以x＋y＝1.　②将①式代入②式，即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m>0，且m≠1)．因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题

20、目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．1．二次方程x2－ax＋b＝0的两根为sinθ，co

21、sθ，求点P(a，b)的轨迹方程.解：由已知可得①2－2×②，得a2＝2b＋1.∵

22、θ

23、≤，由sinθ＋cosθ＝sin，知0≤a≤.由sinθcosθ＝sin2θ，知

24、b

25、≤.∴点P(a，b)的轨迹方程是a2＝2b＋1(0≤a≤)．2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求点A的轨迹方程．解：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)．设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，则

26、AD

27、＝.又

28、AD

29、＝3，∴＝3，即x2＋y2＝9(

30、y≠0)．∴点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).8　　　　　　　　　　　　用坐标法解决几何问题　已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.　由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．则直线AC的方程为y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝x＋h，即：hx－ay＋ah＝0.

31、由点到直线的距离公式，得

32、BD

33、＝，

34、CE

35、＝.∴

36、BD

37、＝

38、CE

39、，即BD＝CE.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．3．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC.求证：AC＝BD.证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设A(－a，h)，B(－b,0)，8则D(a，h)，C(b,0)．

40、∴

41、AC

42、＝，

43、BD

44、＝.∴

45、AC

46、＝

47、BD

48、，即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.4．已知△ABC中，D为边BC的中点，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．设B(a,0)，C(b，c)，则D，所以AD2＋BD2＝＋＋＋＝(a2＋b2＋c2)，又AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2，所以AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2).　　　　　　　　　　　　直角坐