2013年全国考研数学三真题

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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A）（B）（C）（D）（2）函数的可去间断点的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设是圆域位于第象限的部分，记，则（）（A）（B）（C）（D）（4）设为正项数列，下列选项正确的是（）（A）若收敛（B）收敛，则（C）收敛，则存在常数,使存在（D）若存在常数，使存在，则收敛

2、（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价（6）矩阵与相似的充分必要条件为（）（A）（B）（C）（D）（7）设是随机变量，且,则（）（A）（B）（C）（D）（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，则（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线和在点处有公共的切线，则__

3、______。（10）设函数由方程确定，则________。（11）求________。（12）微分方程通解为________。（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若。（14）设随机变量X服从标准正态分布,则=________。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。（16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。（1

4、7）（本题满分10分）设平面内区域由直线及围成.计算。（18）（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。（19）（本题满分10分）设函数在上可导，，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在使得（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。（21）（本题满分11分）设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩

5、阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。（22）（本题满分11分）设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度（1）求的概率密度；（2）的边缘概率密度；（3）求。（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母

6、填在答题纸指定位置上.（1）（D）解：（A）（B）（C）（D）　如：（2）（B）解：f(x)=f(x)=而f(0),f(1)无定义，故x=0,x=1为可去间断点.（3）（B）解：故应选B。（4）（D）解：因为收敛，存在，则收敛。故应选D。（5）（B）解：∵B可逆.∴A(b1…bn)=C=(c1…cn)∴Abi=Ci.即C的列向量组可由A的列向量组表示.∵AB=C　∴A=CB-1=CP.同理：A的列向量组可由C的列向量组表示.（6）（B）解：A和B相似，则A和B的特征值相同.∴A和B的特征值为λ1=0.λ2=b.λ3=2.∴

7、A-2E

8、

9、=∴a=0且当a=0时，反之对于.（7）（A）解：（8）（C）解：二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）-2解：（10）2-2ln2解：（11）ln2解析:＝0+=0-ln（12）解：（13）解：取行列式得：若(矛盾)（14）2e2解：三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。解：（16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一

10、周所得旋转体的体积，若，求的值。解：由题意可得：因为：所以（17）（本题满分10分）设平面内区域由直线及围成.计算。解：与的交点为，与的交点为。（18）（本题满分10分）解：（1）总收入总成本总利润边际利润（2）当P=50时的边际利润