2007年全国考研数学三真题

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1、2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是()（A）（B）（C）（D）（2）设函数在处连续，下列命题错误的是：()（A）若存在，则（B）若存在，则.（B）若存在，则（D）若存在，则.（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：()（A）(B)（

2、C）（D）（4）设函数连续，则二次积分等于()（A）（B）（C）（D）第15页共15页（5）设某商品的需求函数为，其中分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是()(A)10.(B)20(C)30.(D)40.（6）曲线的渐近线的条数为()（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.（7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则()(A)(B)(C).(D).（8）设矩阵，则与()(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似（

3、9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为()（A）.（B）.（C）.（D）（10）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为()(A).(B).(C).(D).二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）__________.（12）设函数，则________.第15页共15页（13）设是二元可微函数，，则__________.（14）微分方程满足的特解为__

4、______.（15）设矩阵，则的秩为.（16）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)第15页共15页设二元函数，计算二重积分，其中.（19）(本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.（20）(本题满分10分)第15页共15页将函数展开成的幂级数，并指出其收敛

5、区间.（21）(本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.（22）(本题满分11分)第15页共15页设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵.（23）(本题满分11分)第15页共15页设二维随机变量的概率密度为.（I）求；(II)求的概率密度.第15页共15页2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案1.解:当时，，，，故用排除法可得正确选项为（B）.事实

6、上，，或.所以应选（B）2.解:取，则，但在不可导，故选（D）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)3.解:利用定积分的几何意义，可得，，.所以，故选（C）.4.解:由题设可知，，则，故应选（B）.5.解:选（D）.商品需求弹性的绝对值等于，故选（D）.第15页共15页6.解:，所以是曲线的水平渐近线；，所以是曲线的垂直渐近线；，，所以是曲线的斜渐近线.故选（D）.7.本题考查由线性无关的向量组构造的

7、另一向量组的线性相关性.一般令，若，则线性相关；若，则线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.解:由可知应选（A）.或者因为，而，所以线性相关，故选（A）.8.本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.解:由可得，所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0.所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.9.解:p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中

8、目标｝第15页共15页，故选（C）.10.本题求随机变量的条件概率密度，利用与的独立性和公式可求解.解:因为服从二维正态分布，且与不相关，所以与独立，所以.故，应选（A）.11.本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.解:因为，所以.12.本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.解:，则，故.13.本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.解:利用求导公式可得，，所以.14.本题为齐次方程的求解，可令.解: