1991年全国考研数学三真题

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1、1991年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1)设则_______.(2)设曲线与都通过点且在点有公共切线,则_______,_______,_______.(3)设,则在点_______处取极小值_______.(4)设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则_______.(5)设随机变量的分布函数为则的概率分布为_______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内

2、.)(1)下列各式中正确的是()(A)(B)(C)(D)(2)设则下列级数中肯定收敛的是()20(A)(B)(C)(D)(3)设为阶可逆矩阵,是的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一是()(A)(B)(C)(D)(4)设和是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()(A)与不相容(B)与相容(C)(D)(5)对于任意两个随机变量和,若,则()(A)(B)(C)和独立(D)和不独立三、(本题满分5分)求极限,其中是给定的自然数.四、(本题满分5分)20计算二重积分,其中是由轴,轴与曲线所围成的区域,.

3、五、(本题满分5分)求微分方程满足条件的特解.六、(本题满分6分)20假设曲线：、轴和轴所围区域被曲线：分为面积相等的两部分,其中是大于零的常数,试确定的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为和,总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)20试证明函数在区间内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量问取何值时,(1)可由线性表示,且表达式唯一?(2)可由线性表示,且表达式不唯一?(

4、3)不能由线性表示?十、(本题满分6分)20考虑二次型.问取何值时,为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明维列向量组线性无关的充分必要条件是,其中表示列向量的转置,.十二、(本题满分5分)20一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布.(1)求和的相关系数;(2)问和是否独立?十四、(本题满分5分)20设

5、总体的概率密度为其中是未知参数,是已知常数.试根据来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量.201991年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)答案：解析：方法一：先求出两个偏导数和,然后再写出全微分,,所以.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算..(2)答案：,,解析：由于曲线与都通过点则,又曲线与在点有公切线,则,即,亦即,解之得,,.(3)答案：；解析：由高阶导数的莱布尼兹公式可知,20.对函数求导,并令,得,解之得驻点,且故

6、是函数的极小值点,极小值为.(4)答案：解析：利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有,由对应元素或块相等,即从和均为可逆矩阵知.故应填.(5)答案：0.40.40.2解析：因为随机变量的分布函数在各区间上的解析式都与自变量无关,所以在的连续点,,只有在的间断点处取值的概率才大于零,且,则,20因此的概率分布为0.40.40.2二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)答案：(A)解析：由重要极限可知,极限,.而极限,令,则,所以.故选项(A)正确.(2)答案：(D)解析：因为,由收敛及比较判别法可知绝对收敛.即(D)正

7、确.另外,设,则可知(A),(C)都不正确.设,则可知(B)不正确.(3)答案：(B).解析：由为的特征值可知,存在非零向量,使得.20两端同时乘以,有,由公式得到.于是.按特征值定义知是伴随矩阵的特征值.故应选(B).(4)答案：(D)解析：,如果,则,即与互不相容；如果,则,即与相容.由于、的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件一定可以表示为两个互不相容事件与的和.又因,从而,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把、互不相容等同于、相互独立而错选(C).,不相容,,均不为零,因此,即(C)不正

8、确.用排除法应选(D).事实上,(5)答案：(B)解析：由于,因此有故应选(B).三、(本题满分5分)解析：方法一：这是型未定式极限.,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有20.所以.方法二：由于,记,则当时,从而.而,所以.又因.所以.四、(本题满分5分)解析：积分区域如图阴影部分所示.由,得.因此.令,有,故20.五、(本题满分5分