2010年全国考研数学一真题

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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)极限()(A)1.(B).(C).(D).【答案】C【考点】重要极限公式【详解】本题涉及到的主要知识点：本题主要涉及求1∞型极限和重要公式.在本题中，(2)设函数,由方程确定，其中为可微函数，且，则()(A).(B).(C).(D).【答案】B【考点】隐函数的微分【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：,,第19页共19页(3)设

2、是正整数，则反常积分的收敛性()(A)仅与的取值有关.(B)仅与的取值有关.(C)与的取值都有关.(D)与的取值都无关.【答案】D【考点】反常积分【详解】本题涉及到的主要知识点：反常积分敛散性判别法则：设f(x)在（a，b）非负，，在可积，又设（或）是的瑕点，且（或），则当且时瑕积分收敛。在本题中，,对于，瑕点为设，故收敛。设存在，不是反常积分设存在，，故收敛。对于，，瑕点为，当为正整数时，，其中，故收敛故选(D)。(4)()(A).(B).第19页共19页(C).(D).【答案】D【考点】定积分的概念【详解】本题涉及到的主要知识点：利用定

3、积分的定义求某些n项和式的极限（先将和式表示成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）。特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：其中多几项或少几项并不影响结果。在本题中，(5)设为型矩阵，为型矩阵，为阶单位矩阵，若，则()(A)秩,秩.(B)秩,秩.(C)秩,秩.(D)秩,秩.【答案】A【考点】矩阵的秩【详解】本题涉及到的主要知识点：矩阵的秩的定义，若一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A的秩。记做r（A）。若r（A）=r，则A中有r阶子式不为0，而r+1阶子式必全为0.矩阵秩的重要公式：1）2）3）4）5

4、）若A可逆，则6）若，是矩阵，则7）若则在本题中，由于，故.又由于，故①由于为矩阵，为矩阵，故第19页共19页②由①、②可得，故选A.(6)设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于()(A).(B).(C).(D).【答案】D【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）与对角矩阵相似的充分条件：①有个不同的特征值；②是实对称矩阵（ii）与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵的每一个重特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，即秩.在本题中，设为的特征值，由于，所以，即，这样的特征值为-

5、1或0.由于为实对称矩阵，故可相似对角化，即，，因此，，即.(7)设随机变量的分布函数，则=()(A)0.(B).(C).(D).【答案】C【考点】随机变量分布函数的概念及其性质【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）设是一个随机变量，是任意实数，函数，第19页共19页称为的分布函数.（ii）设是随机变量的分布函数，则对任意两个实数，有.在本题中，(8)设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足()(A).(B).(C).(D).【答案】A【考点】常见随机变量的分布；二维连续型随机变量的概率密度【详解】本题涉及

6、到的主要知识点：（i）标准正态分布概率密度，（ii）均匀分布概率密度（iii）概率密度具有的性质：在本题中，，利用概率密度的性质所以.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设，求.【答案】0【考点】参数方程所确定的函数的微分法【详解】本题涉及到的主要知识点：由参数方程确定函数的运算法则：第19页共19页设确定函数存在，则二阶导数在本题中，,,(10).【答案】【考点】定积分的换元法和分部积分法【详解】本题涉及到的主要知识点：第一换元积分法设，又可导，则第二类换元积分法：设可导，且，若，则，其中为

7、的反函数。分部积分法：设均有连续的导数，则或者在本题中，令，，原式第19页共19页(11)已知曲线的方程为,起点是，终点是，则曲线积分.【答案】0【考点】第二类曲线积分【详解】本题涉及到的主要知识点：曲线积分的基本计算方法是：代公式，化为定积分，特别要注意定积分限的配置，第二类线积分与曲线定向有关，第一类曲线积分与曲线定向无关。在本题中，(12)设，则的形心的竖坐标.【答案】【考点】曲线积分和曲面积分的应用【详解】本题涉及到的主要知识点：多元函数积分学的应用包括几何应用（求平面图形与曲面的面积、求空间立体的体积与空间曲线的弧长）与物理应用（

8、求变力做功，物体的重心，转动惯量，引力及流体的流量等）。三重积分的应用主要有两种情形：（1）截面面积已知的情形，的面积为S(z),则的体积（2）曲顶面底柱形区域的情形。，则的体积