2005年全国考研数学一真题

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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)曲线的斜渐近线方程为(2)微分方程满足的解为.(3)设函数，单位向量，则=_______________.(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则___________________.(5)设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么.(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为,再从中任取一个数，记为,则=___________.二、选择题：7-14小题，

2、每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数，则在内()(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.(8)设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条件是”，则必有()(A)是偶函数是奇函数.(B)是奇函数是偶函数.(C)是周期函数是周期函数.(D)是单调函数是单调函数.第26页共26页(9)设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有()(A).(B).(C).(D).(10)设有三元

3、方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程()(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数.(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和和.(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和.(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和.(11)设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是()(A).(B).(C).(D).(12)设为()阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵,分别为,的伴随矩阵，则()(A)交换的第1列与第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.(C

4、)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.(13)设二维随机变量的概率分布为()0100.410.1已知随机事件与相互独立，则(A)(B)(C)(D)(14)设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则()(A)(B)第26页共26页(C)(D)三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分11分)设，表示不超过的最大整数.计算二重积分(16)(本题满分12分)求幂级数的收敛区间与和函数.第26页共26页(

5、17)(本题满分11分)如图，曲线的方程为，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数具有三阶连续导数，计算定积分(18)(本题满分12分)已知函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且.证明：(I)存在使得；(II)存在两个不同的点，使得第26页共26页(19)(本题满分12分)设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数.(I)证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；(II)求函数的表达式.(2

6、0)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(I)求的值；(II)求正交变换，把化成标准形；(III)求方程=0的解.第26页共26页(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且,求线性方程组的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量的概率密度为求：(I)的边缘概率密度；(II)的概率密度第26页共26页(23)(本题满分9分)设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，记求：(I)的方差；(II)与的协方差第26页共26页2005年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题参考

7、答案及解析一、填空题(1)【答案】【详解】由求斜渐近线公式(其中，)，得：=，，所以所求斜渐近线方程为(2)【答案】【详解】求方程的解，有公式(其中是常数).将原方程等价化为，于是利用公式得方程的通解=,(其中是常数)由得，故所求解为(3)【答案】【详解】设有连续的一阶偏导数,为给定的向量的单位向量,则沿方向的方向导数计算公式为.第26页共26页因为,所以，，，且向量的于是所求方向导数为=(4)【答案】【详解】如果设函数在上具有一阶连续偏导数,则有：，其中是的整个边界曲面的外侧.以表示由与所围成的有界闭区域，由

8、高斯公式得利用球面坐标得=(5)【答案】2【详解】方法1：因为，，，故=，记，两边取行列式，于是有第26页共26页方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)又因为，故.(6)【答案】【详解】由全概率公式：=+++表示从数1,2,3,4中任取一个数，故是等可能取到1,2,3,4，所以