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《2002年全国考研数学一真题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2002年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)=_____________.(2)已知,则=_____________.(3)满足初始条件的特解是_____________.(4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________.(5)设随机变量,且二次方程无实根的概率为0.5,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数的四条性质:()①在点处连续,②
2、在点处的一阶偏导数连续,③在点处可微,④在点处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②③① (B)③②①(C)③④① (D)③①④(2)设,且,则级数为()(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数在上有界且可导,则()(A)当时,必有(B)当存在时,必有第14页共14页(C)当时,必有(D)当存在时,必有.(4)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则(A)＋必为密度函数(B)必为密度函数(C)＋必为某一随机变量
3、的分布函数(D)必为某一随机变量的分布函数.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同.求此切线的方程,并求极限.第14页共14页五、(本题满分7分) 计算二重积分,其中.六、(本题满分8分)设函数在上具有一阶连续导数,是上半平面(>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(),终点为().记,(1)证明曲线积分与路径无关.(2)当时,求的值.第14页共14页七、(本题满分7分) (1)验证函数()满足微分方程.(2)求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若
4、此方向的方向导数为,写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.第14页共14页九、(本题满分6分)已知四阶方阵,均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.第14页共14页十一、(本题满分7分)设维随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.十二、
5、(本题满分7分)设总体的概率分布为0123其中()是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.第14页共14页2002年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试卷参考答案一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对两次求导得①②以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),则代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).分离变量得积分得即(对应);由时得于是积分得.又由得所求特解为(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值
6、.又因,故第14页共14页(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根”,则依题意,有而即二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.按定义考察部分和原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意发散发散.因此选(C).(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理,第14页共14页(当时,,因为);但这与矛盾(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此
7、应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和,且中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故,,且中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因对于选项(B),若则对任何,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是三、【解】用洛
