高考数学复习第九章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题学案文新人教a版

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1、第8节　圆锥曲线的综合问题最新考纲　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线

2、C相离.(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·＝·

7、y1－y2

8、＝·.[常用结论及微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与

9、椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.(　　)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.(　　)(3)直线l与抛物

10、线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.(　　)(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长

11、AB

12、＝

13、y1－y2

14、.(　　)解析　(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A.相交B.相切C.相离D.不确定解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点

15、(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案　A3.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A.2B.2C.D.1解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到x－y＝0的距离为＝2.答案　A4.过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2等于________.解析　易知抛物线y＝2x2的焦点为，设过焦点的直线的斜率为k，则其方程为y＝kx＋，由得2x2－kx－＝0，故x1x2＝－.答案　－5.已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1600的两个焦点，P是椭圆上一

16、点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________.解析　由题意可得

17、PF1

18、＋

19、PF2

20、＝2a＝20，

21、PF1

22、2＋

23、PF2

24、2＝

25、F1F2

26、2＝4c2＝144＝(

27、PF1

28、＋

29、PF2

30、)2－2

31、PF1

32、·

33、PF2

34、＝202－2

35、PF1

36、·

37、PF2

38、，解得

39、PF1

40、·

41、PF2

42、＝128，所以△F1PF2的面积为

43、PF1

44、·

45、PF2

46、＝×128＝64.答案　64考点一　直线与圆锥曲线的位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2

47、)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程.解　(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，又点P(0，1)在曲线C1上，∴＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C

48、2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得或所以直线l的方程为y＝