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《高中数学 计数原理习题课二项式定理学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题课 二项式定理学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理二项式系数C(k＝0,1，…，n)通项Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…n)二项式定理的特例(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C＝C；(2)性质：C＝C＋C；(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇
2、数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即＝最大；(4)二项式系数之和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法．类型一 二项式定理的灵活应用例1 (1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )A．－4B．－3C．3D．4(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 (1)B (2)－1解析 (1)方法一 (1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)m，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝C，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0
3、,1,2,3,4.令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.方法二 (1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.∴x2的系数为C＋aC，则10＋5a＝5，解得a＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构
4、成展开式中特定项的组成部分．(3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A．－40B．－20C．20D．40(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 (1)D (2)120解析 (1)令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，故5的展开式中常数项即为5的展开式中与x的系数之和．5的展开式的通项为Tk＋1＝(
5、－1)kC25－kx5－2k，令5－2k＝1，得k＝2，∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80，令5－2k＝－1，得k＝3，∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40，∴5的展开式中常数项为80－40＝40.(2)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.例2 5的展开式中的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 解析 方法一 原式＝5，∴展开式的通项为＝(k1＝0,1,2，…，5)．当k1＝5时，T6＝()5＝4，当0≤k1<5时，的展开
6、式的通项公式为＝＝·(k2＝0,1,2，…，5－k1)．令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或∴常数项为4＋CC2＋CC×()3＝4＋＋20＝.方法二 原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.∴所求的常数项为＝.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．跟踪训练2 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为__
7、______．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 30解析 方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.方法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )A．一B．二C．三D．四考点 二项式定理的综合应用题点 整除和余数问题答案 A解析 求第810天是星期几，
8、实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)
