小五数学第7讲：容斥定理（教师版）.——平谷王培珍.docx

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1、第七讲容斥定理1两集合容斥定理如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B=A+B-A∩B)2三集合容斥定理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C教学重点：两集合容斥定理找对ABA∪BA∩B教学难点：三集合容斥定理例1.某区1

2、00个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.答案45解析：依题意，被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类，懂英语的教师称为“A类元素”，懂俄语的教师称为“B类元素”，设懂俄语的教师为x人A∪B=A+B-A∩B=75+x-20=100X=45例2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.86543答案67解析:依题意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称为“A类元素”，正方形的面积称为“B类元素”，A∪B=A+B

3、-A∩B=6×8+5×5-4×3×1/2=67例3.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。答案13解析：依题意，被计数的事物不超过20的正整数中是2的倍数与不超过20的正整数中是3的倍数有两类，不超过20的正整数中是2的倍数称为“A类元素”，不超过20的正整数中是3的倍数称为“B类元素”，A=20÷2=10B=20÷3=6……2A∩B=20÷6=3……2A∪B=A+B-A∩B=10+6-3=13例4.一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？答案8解析：依题意，被计数的事物有参加合唱队，美术组两类，参

4、加合唱队”称为“A类元素”，“参加美术组”称为“B类元素”，A∪B=A+B-A∩B=30+25-x=42-5X=8例5.某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短跑、游泳、投掷1718156652求这个班的学生共有多少人？答案35解析：依题意，记A类元素为：短跑达优秀。B类元素为：游泳达优秀。C类元素为：投掷达优秀。A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=17+18+15-6-6-5+2=35例6某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练

5、队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？答案3解析记A类元素为：参加足球队的人数；记B类元素为：参加排球队的人数；记C类元素为：参加游泳队的人数。设三项都参加的有x人A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=25+22+24-12-9-8+X=45X=3例7对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影

6、又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则有既喜欢看球赛又喜欢看电影的有多少人?答案3解析记A类元素为：喜欢看球赛的人；记B类元素为：喜欢看戏剧的人；记C类元素为：喜欢看电影的人。设既喜欢看球赛又喜欢看电影的有x人A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=58+38+52-18-16-x+12=100X=26A1.某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有()人　　A.57B.73C.130D.69答案A解析记A类元素为：会骑自行车；记B类元素为：会游泳。设既会骑车又会游泳的有x人。A∪

7、B=A+B-A∩B=68+62-A∩B=85-122.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.答案6857解析记A类元素为：在1至10000中能被5整除的数A=10000÷5＝2000记B类元素为：在1至10000中能被7整除的数B=10000÷7≈1428.6B取整数B=1428A∩B=10000÷35≈285.7B取整数B=285设在1至10000中不能被5或7整除的数共有x个。A∪B=A+B-A∩B=68+62-A∩B=2000+1428-28