2019版高考数学复习专题十四坐标系与参数方程讲义理（普通生，含解析）（选修4－4）

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1、重点增分专题十四坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线

2、的距离、三角函数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．保分考点·练后讲评1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k

3、x

4、＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点

5、，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当

6、k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－

7、x

8、＋2.2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程．解：∵曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝

9、4，即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0.∵直线C2的方程为y＝x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足

10、OM

11、·

12、OP

13、＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，

14、M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知

15、OP

16、＝ρ，

17、OM

18、＝ρ1＝.由

19、OM

20、·

21、OP

22、＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知

23、OA

24、＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积S＝

25、OA

26、·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－＝2.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.[解题方略]1．直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x

27、＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.保分考点·练后讲评1.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cosθ＝0，M.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C

28、交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．解：由ρsin2θ－cosθ＝0得ρ2sin2θ＝ρcosθ，∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.故曲线C的参数方程为(t为参数)，由题意，M的直角坐标为(0,1)，则直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，