高中数学 导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案

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1、1．5.1　曲边梯形的面积1．5.2　汽车行驶的路程学习目标　1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一　曲边梯形的面积思考1　如何计算下列两图形的面积？答案　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2　如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理　曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b

2、(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二　求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、

3、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．(　×　)2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，只能用2近似代替．(　×　)3．利用求和符号计算(i＋1)＝40.(　√　)类型一　求曲边梯形的面积例1　求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积．考点　求曲边梯形的面积问题题点　求曲线梯形的面积问题解　令f(x)＝x2＋1.(1)分割将区间[0,2]n等分，分点依次为x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.第i个区间为(i

4、＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，Sn＝ ·Δx＝·＝2＋2＝(12＋22＋…＋n2)＋2＝·＋2＝＋2.(3)取极限S＝Sn＝＝，即所求曲边梯形的面积为.反思与感悟　求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．(3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确．(5)求和时可用一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋32＋…＋n2＝，13＋23＋33＋…＋n3＝2.跟踪训练1　求由直线x＝0，x＝1，y

5、＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．考点　求曲边梯形的面积问题题点　求曲边梯形的面积问题解　(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间：，，，…，，…，，其中i＝1,2，…，n，每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替在区间(i＝1,2，…，n)上，以处的函数值2为高，小区间的长度Δx＝为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈2·.(3)求和Si≈2·＝0·＋2·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n

6、－1)2]＝－＋.(4)取极限曲边梯形的面积S＝＝.类型二　求变速运动的路程例2　当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？考点　变速运动的路程问题题点　变速运动的路程问题解　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.所以Δsi＝v·.sn＝v＝＝＝＝3＋＋.s＝sn＝＝.所以这段时间行驶的路程为km.引申探究　本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求

7、出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.所以Δsi＝v·.sn＝v＝3＋[12＋22＋…＋(n－1)2＋n2]＋[2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n]＝3＋＋.s＝sn＝＝.所以这段时间行驶的路程为km.所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟　求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2　一辆汽车在直线形公路上做变

8、速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．考点　变速运动的路程问题题点　变速运动的路程问题解　(1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n－1个点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，