浙江2020版高考数学第九章平面解析几何9.7抛物线讲义（含解析）

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1、§9.7　抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0

2、，0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示　过点F且与l垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示　直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的

3、轨迹一定是抛物线.(　×　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　×　)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长

4、AB

5、＝x1＋x2＋p.(　√　)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)题组二　教材改编2.[P69例4]过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线

6、于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则

7、PQ

8、等于(　　)A.9B.8C.7D.6答案　B解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

9、PQ

10、＝

11、PF

12、＋

13、QF

14、＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3.[P73A组T3]若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)A.2B.C.D.3答案　A解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.

15、∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.4.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案　y2＝－8x或x2＝－y解析　设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三　易错自纠5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A.4B.6C.8D.12答案　B

16、解析　如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则

17、AB

18、＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离

19、PB

20、＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离

21、PF

22、＝

23、PB

24、＝6.故选B.6.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)A.y2＝±2xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±4x答案　D解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.7.

25、设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________.答案　[－1，1]解析　Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，符合题意，当k≠0时，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1且k≠0，综上，k的取值范围是[－1，1].题型一　抛物线的定义和标准方程命题点1　定义及应用例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则