陈昊(一阶电路地分析报告方法)初稿子

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2、阶电路的分析方法陈昊（赤峰学院物理与电子信息工程学院学院，内蒙古赤峰024000）摘要：本文主要讨论了三种分析一阶电路的的方法：1、利用基尔霍夫定律和电容、电感的关系及微积分的知识。2、三要素法进行分析。3、利用拉普拉斯变换进行分析。关键词：电流、电压、节点、初始值、终了值、拉普拉斯变换、反拉普拉斯变换对于一个复杂的电路，当电路的工作条件发生改变时，电阻电路和动态电路的工作状态都将随之发生变化。电阻电路的变化可在瞬间完成，无需经历任何过程。但动态电路的变化一般是一个渐变的过程，而不能在瞬间完成，这一渐变的过程称为瞬态过程，处于瞬态过程中的状态称为瞬态。关于动态电路

3、，常以描述该电路性状的微分方程的阶数加以区别，对应于一阶微分方程的电路，称为一阶电路。只含有一个储能元件（电感或电容）的电路就是一阶电路。所谓瞬态过程的分析就是指对于给定的电路，当电路或电源的接通与断开，电路连接结构或元件参数改变时计算出各支路中的电流或电压随时间的变化规律。下面介绍三种分析一阶瞬态电路的方法。1.基尔霍夫定律分析法利用基尔霍夫电流定律：对于任一节点，所有与之相边的支路电流的代数和恒等于零，即：；电压定律：对于任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即：；以及电感感应电动势与电流的关系：；电容的电压与电容电流之间的关系来分析研究瞬态过程的一种方法。

4、下面通过一具体的实例加以介绍：在右图的电路中，两线圈的自感分别为L1和L2，电阻为零，两者之间无互感耦合，电源的内阻已计入R中，设开关闭合前各支路无电流，设t=0，开关闭合，各支路电流如图示则根据基尔霍夫定律有：对以上各式整理有：若令则很显然这是一阶微分方程，故该电路为一阶电路。该微分方程可整理后计算得各支路电流为：例如图所示的RC电路,开关原本接在1端，电路已经进入稳态，设在t=0时，把S迅速投向二端（换路），则电路的响应uc(t)、ic(t)和uR(t)将经历一个变化，最后达到新的稳态，根据KVL,可以了出换路后的电路方程为(1)方程的特解和外施激励形式相同，

5、为；对应齐次方程的通解常为指数形式：。于是电容电压全影响式中，A为积分常数，是电路的时间常数。由初始条件，可确定积分常数。最后得全响应(2)把全响应分解为稳态分量和暂态分量的优点，是对电路从稳态——暂态过程——新的稳态的物理变化规律了解得十分清楚。（2）式又可以写为：（3）其中第一项仅由电容的初始储能引起，称为零输入响应；第二项仅有外施激励引起，称为零状态响应。2.三要素分析法一阶电路是指只包含一个或者经化简后只剩下一个独立储能元件的电路，.即该电路依据基尔霍夫定律列出的方程是一阶的常微分方程。激励和响应之间的关系可概括为下列形式:（1）式中:f(t)是任意激励函

6、数，y(t)是电路中任一响应函数(电压或电流).是初始条件，a是电路的结构与参数决定的常数由数学知识可知微分方程（1）的解为：（2）式中：为电路的稳态响应，它和激励函数f(t)具有相同的形式，它就是非齐次微分方程式(1)的特解；为电路的暂态响应，它就是式(1)所对应的齐次微分方程的通解，该齐次微分方程的特征方程为s+a=0,所以特征根s=-a=,其中为一阶电路的时间常数，仅与电路的结构与参数有关，而与外施激励无关。这样电路的暂态相应可写为而电路的全响应为（3）式中c为由初始条件决定的积分常数。将t=0+的初始值代入（3）式可得：所以把c代入式（4）中得(4)这就是

7、一阶线性电路在任意激励作用下，决定电路全响应的一般公式。其中、、、分别代表响应的初始值、稳态值、稳态初始值和电路的时间常数，而、、称为一阶电路的“三要素”，只要求得了这三个要素，就可以根据式(4)直接写出电路全响应的函数式。对阶跃激励而言有式（4）变为（5）上式即为一阶线性电路在阶跃激励作用下全响应的“三要素法”的一般公式。另外，在一阶电路中，任一响应的初始值都可以通过初始值等效电路来求得。通过求解一阶电路中电容(或电感)元件以外线性电路的戴维南或诺顿等效电路，总可以找到一个等效电阻R，从而算出电路的时间常数：对RC电路：对RL电路：如图示电路，设开关S动作前电路

8、已处于稳态