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《【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、--WORD格式--可编辑--专业资料--三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结1）O是ABC的重心OAOBOC0;SBOCSAOCSAOB1若O是ABC的重心，则SABCOC0;3故OAOBPG1(PAPBPC)G为ABC的重心.32）O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA;若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则SBOC：SAOC：SAOB：：
2、tanAtanBtanC故tanAOAtanBOBtanCOC03）O是ABC的外心2OB2OC2
3、OA
4、
5、OB
6、
7、OC
8、(或OA)若O是ABC的外心：：：：sin2A:sin2B:sin2C则SBOCSAOCSAOBsinBOCsinAOCsinAOB故sin2AOAsin2BOBsin2COC04）O是内心ABC的充要条件是OA(ABAC)OB(BABC)OC(CACB)0
9、AB
10、AC
11、BA
12、
13、BC
14、
15、CA
16、
17、CB
18、引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则
19、刚才O是ABC内心的充要条件可以写成：OA(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOBa：b：cA故aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0;e1
20、AB
21、PC
22、BC
23、PA
24、CA
25、PB0PABC的内心;e2向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分
26、AB
27、
28、AC
29、C线所在直线)；B--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料
30、--二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点PP--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--满足OPOA(ABAC)，0,则P点的轨迹一定通过ABC的（）ABAC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--解析：因为AB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2
31、，又--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--AB--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--OPOAAP，则原式可化为APABC中，AP平分BAC，则知选(e1B.e2)，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零--WORD格
32、式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--AB--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心.由HAHBHBH
33、CHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB，HABC.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（DA．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.）--WORD格式--可编辑---精品资料分享----WORD格式--可编辑--专业资料--即PB(PAPC)0,即PBCA0则PBCA,同理PABC,PCAB所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为
34、零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。222222变式：若H为△ABC所在平面内一点，且HABCHBCAHCAB则点H是△ABC的垂心证明:2222HAHBCABCA(HAHB)BA(CACB)BA得(HAHBCACB)BA0H即(HCHC)BA0BC图6ABHC同理ACHB，BCHA故H是△ABC的垂心(三)将平面向
