构造函数求解参数的取值范围与蔡上鹤老先生商榷

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1、构造函数求解参数的取值范围与蔡上鹤老先生商榷内蒙古赤峰市赤峰二中中　孙广仁电话：8688082邮编：０２４５００对于求参数取值范围的问题是中学数学教学的一个难点，构造函数法在解答此类问题是不失为一种好方法。下面列举几种此类问题的载体形式。一、以方程为载体二、不等式为载体《中学生数理化》1999年第9期刊登了蔡上鹤老先生的一篇文章，对其中的一道例题的解答笔者不敢苟同。现讨论如下，就教于蔡老先生。原题是已知函数当时有意义，求ａ的取值范围。原解答为：要使有意义，必须而且只须。根据指数函数的性质，这等价于。所以使在

2、有意义的充要条件是,。为了求出a的取值范围，关键在于求出当时，的最大值。因函数都是减函数，所以在上是增函数，可见当时它取得最大值。由此可见，所以a的取值范围为。此解答的错误原因是与并不等价，当时，是成立的充分条件，而不是充要条件。正确地解法应该是：要使有意义，必须而且只须，所以使在有意义的充要条件是在时恒成立。为了求出a的取值范围，关键在与求出当时的最大值。因函数都是减函数，所以在上是增函数，可见当时它取得最大值。由此可见，所以a的取值范围为。对于求参数取值范围的问题是中学数学教学的一个难点，构造函数法在解

3、答此类问题是不失为一种好方法。下面列举几种此类问题的载体形式。一、以方程为载体在含有参数的方程中，将参数是为主变元的函数，若能通过适当的恒等变形时方程的一端只含参数的解析式，而另一端与参数无关的主变元函数。函数的关系就由“隐”化为“显”。我们只要求出主变元函数的值域，则参数的取值范围就可以确定了。【例1】方程在上有实根，求k的取值范围。〖解〗：构造函数则原题可等价地转化为求此函数的值域，利用配方法=∵∴当当∴这即为k的取值范围。【例1】求方程恒成立时a的取值范围。〖解〗:构造函数则原题可等价地转化为求此函数

4、的值域。利用数形结合的思想或利用万能公式变换求得a的范围是。二、不等式为载体不等式中参数的取值问题，涉及的知识面广，综合性强。同时数学语言抽象，因此解决此类问题时，可将参数分离出来，转化为形如“”或“”（其中a为参数）的不等式，且函数在其定义域上的值域可求，并通过它来制约另一端的范围，从而求得原不等式在其定义域内恒成立的两个充要条件是：命题1：若(c为常数)，则在恒成立的充要条件是。命题2：若(c为常数)，则在恒成立的充要条件是。应用此性质很容易求得此类问题的解，同时这也是一个很有用的技巧。【例3】时，不等

5、式一定成立，求a的取值范围。〖解〗：（1）当时，恒成立，由命题二可知解得（2）当时，恒成立，由命题一可知解得。∴【例2】设对所有的实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。〖解〗：由题设可知，原不等式变形为∵∴∵由命题1可知恒成立的充要条件是即∴所以当时，原不等式对一切实数成立。